Александер: рогатая сфера и первый полином узлов

Двойственность

Джеймс Уэдделл Александер II (1888–1971) работал в Принстоне, а с 1933 года был одним из первых профессоров Института перспективных исследований — вместе с ЭйнштейномАльберт Эйнштейннемецкий физик-теоретик · 1879–1955Единственный физик в этом справочнике по праву математика: чтобы записать тяготение, ему понадобилась геометрия Римана — и он потратил на её освоение семь лет., Вейлем и фон НейманомДжон фон Нейманвенгеро-американский математик · 1903–1957Аксиоматизировал квантовую механику, основал теорию игр, придумал архитектуру компьютера и метод Монте-Карло — и всё это, по мнению современников, не напрягаясь..

Первый его крупный результат (1922) связывает то, что внутри, с тем, что снаружи.

Двойственность Александера. Пусть $X$ — «приличное» компактное подмножество сферы $S^{n}$. Тогда
$$\tilde H_i\left(S^{n}\setminus X\right)\ \cong\ \tilde H^{\,n-i-1}(X).$$

Смысл: гомологии дополнения полностью определяются гомологиями самого множества. Чтобы понять, на сколько кусков фигура делит пространство и какие в них дыры, достаточно знать устройство самой фигуры.

Проверим на классическом случае. Возьмём $n=2$ и $X$ — замкнутую кривую без самопересечений, то есть окружность. У окружности $\tilde H^{0}=\mathbb{Z}$ (одна компонента сверх базовой). Значит,

$$\tilde H_0\left(S^{2}\setminus X\right)\cong\mathbb{Z},$$

то есть дополнение имеет ровно две компоненты. Это теорема о жордановой кривой — та самая, доказательство которой занимало десятки страниц, — получена как частный случай общей формулы.

Тот же приём даёт обобщение на любую размерность (теорема ЖорданаКамиль Жорданфранцузский математик, инженер путей сообщения · 1838–1922Написал книгу, после которой теорию Галуа стало возможно выучить, и доказал утверждение о том, что замкнутая кривая делит плоскость, — оказавшееся неожиданно трудным. — БрауэраЛёйтзен Брауэрнидерландский математик · 1881–1966За три года выдал топологии её рабочий арсенал, а потом объявил собственные доказательства незаконными и двадцать лет воевал с Гильбертом за право математики говорить только о том, что построено.): гиперповерхность, гомеоморфная сфере $S^{n-1}$, делит $\mathbb{R}^{n}$ на две части.

Рогатая сфера

А в 1924 году Александер показал, что на этом хорошие новости кончаются.

Теорема Шёнфлиса утверждает, что на плоскости жорданова кривая не просто делит плоскость надвое — обе части устроены как круг и внешность круга, причём гомеоморфизм продолжается на всю плоскость. Естественно было ожидать того же в пространстве: поверхность, гомеоморфная сфере, должна ограничивать область, устроенную как шар.

Александер построил контрпример — рогатую сферу.

Конструкция такая. Возьмём сферу и вытянем из неё два «рога», загнув их навстречу друг другу, как пальцы, почти сцепленные в замок. Из кончика каждого рога вытянем по паре рогов поменьше, тоже почти сцепленных. Из них — ещё, и так до бесконечности, с уменьшением размеров.

Предельный объект — поверхность, гомеоморфная обычной сфере (на каждом шаге мы только деформировали, ничего не склеивая). Внутренняя область по-прежнему устроена как шар. А вот внешняя не односвязна: петлю, продетую сквозь сцепленные рога, нельзя стянуть, не задев поверхность. У обычной сферы внешность односвязна.

Значит, теорема Шёнфлиса в трёх измерениях неверна, и гомеоморфизм сферы на сферу не обязан продолжаться на объемлющее пространство.

Такие вложения называют дикими, в отличие от ручных. Разница чисто трёхмерная и выше: на плоскости диких вложений окружности не бывает. А положение спасает дополнительное требование гладкости или кусочной линейности — при нём аналог Шёнфлиса верен (Мортон Браун, 1960, для локально плоских вложений).

Мораль та же, что была у Жордана и повторится у Милнора: интуиция, воспитанная на гладких фигурах, в топологии не работает, и за общность приходится платить.

Полином

Третий результат (1928) на полвека определил теорию узлов.

К тому времени Ден показал, что узлы различаются группой дополнения. Беда в том, что группы, заданные образующими и соотношениями, сравнивать трудно — проблема изоморфизма неразрешима. Нужен был инвариант, который вычисляется.

Александер предложил сопоставлять узлу многочлен $\Delta(t)$ от одной переменной. Считается он по диаграмме узла: строится матрица (сегодня её называют матрицей Александера или матрицей Зейферта), и полином получается как определитель.

Для трилистника выходит

$$\Delta(t)=t-1+t^{-1},$$

а для незаузленной окружности $\Delta=1$. Полиномы различны — трилистник заузлен, и это доказано вычислением, которое можно проделать за пять минут.

Полином Александера различает большинство узлов из таблиц и оставался единственным полиномиальным инвариантом пятьдесят шесть лет — до полинома Джонса (1984).

У него есть и слабость, которая объясняет, почему ДжонсВон Джонсновозеландский математик · 1952–2020Занимался операторными алгебрами, заметил, что его формулы совпадают с соотношениями в группе кос, — и нашёл инвариант узлов, которого топологи не могли найти сто лет. произвёл такое впечатление: полином Александера не различает узел и его зеркальное отражение. У трилистника и его зеркального образа он один и тот же, хотя узлы разные. Полином Джонса эту разницу видит.

Александеру принадлежит и ещё одна теорема о узлах, простая и полезная: всякий узел получается замыканием некоторой косы. Именно она позволила Джонсу пройти путь от алгебр фон Неймана к узлам — через группу кос.

Человек

Александер происходил из состоятельной семьи (его отец был известным портретистом) и был одним из немногих математиков, кому не приходилось думать о заработке; жалованье в Институте перспективных исследований он, по некоторым свидетельствам, не брал.

Всерьёз занимался альпинизмом: в Скалистых горах его именем назван маршрут «Камин Александера», а в Принстоне ходили рассказы о том, как он забирался в собственный кабинет по стене корпуса. Был человеком левых взглядов, в эпоху маккартизма подписывал письма в защиту преследуемых, после чего вёл всё более замкнутую жизнь и почти перестал появляться на людях. Последние годы провёл в полном затворничестве.

Задача. Выведите из двойственности Александера, что кривая, гомеоморфная окружности, не может делить плоскость на три части.
(Указание: число компонент дополнения определяется группой $\tilde H_0$, а она по двойственности изоморфна $\tilde H^{0}(S^{1})=\mathbb{Z}$ — то есть ровно на одну компоненту больше базовой. Три части означали бы $\tilde H_0=\mathbb{Z}^{2}$.)

Следующая точка: Гёттинген — где одно замечание на семинаре превратит топологию в алгебраическую.