Вон Джонс

Есть открытия, к которым идут годами, и есть такие, где главное — узнать знакомое лицо в чужой комнате. Джонс теорией узлов не занимался вовсе.

Не тот отдел

Родился в 1952 году в Гисборне, Новая Зеландия. Учился в Окленде, докторскую защитил в Женеве у Андре Хефлигера, потом работал в США — Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе, Пенсильванский университет, с 1985 года Беркли.

Его предмет — алгебры фон Неймана, операторные алгебры, выросшие из квантовой механики. Точнее, теория индексов подфакторов: если одна алгебра вложена в другую, «во сколько раз» вторая больше первой? Джонс доказал в 1983 году, что этот индекс не может быть каким угодно: допустимы значения $4\cos^{2}(\pi/n)$ и всё, что больше четырёх. Дискретный спектр внизу, непрерывный вверху — результат, ставший сенсацией в функциональном анализе сам по себе.

Узнавание

Соотношения, которым подчинялись его операторы, он показал топологам — и услышал, что это соотношения группы кос: те самые, которыми описывается переплетение нитей, и которые со времён Артина знает всякий, кто занимается узлами.

Дальше всё сложилось за несколько месяцев. Из следа на алгебре получился полином Джонса — многочлен, сопоставленный узлу и не меняющийся при движениях Райдемайстера. В отличие от полинома Александера, известного с двадцатых годов, он различает узел и его зеркальное отражение: трилистник левый и трилистник правый — разные, и это стало видно впервые.

Почти сразу полиномом Джонса были доказаны две из гипотез Тейта о чередующихся диаграммах, простоявшие сто лет.

Что это было

Оставался вопрос, на который сам Джонс ответа не давал: почему операторная алгебра знает что-то про узлы? Ответ пришёл от Виттена в 1988 году: полином Джонса — среднее значение наблюдаемой в трёхмерной квантовой теории поля с действием Черна — Саймонса. Узел оказался физическим объектом, а инвариант — интегралом по путям.

Филдсовские медали 1990 года получили оба — Джонс за инвариант, Виттен за применение методов теории поля к математике.

Дальше линия пошла вглубь: квантовые группы Дринфельда дали алгебраический механизм, производящий такие инварианты пачками, а Хованов в 1999 году заменил полином Джонса цепочкой групп гомологий, из которых он получается как эйлерова характеристика, — инвариант оказался тенью чего-то большего.

Дальше

Джонс вернулся к операторным алгебрам и планарным алгебрам — собственному графическому языку для подфакторов. В Новой Зеландии он остался фигурой почти национальной: основал и возглавил Новозеландский институт математических исследований, устраивал летние школы и стипендии, ходил под парусом и не расставался с новозеландским акцентом.

Умер в 2020 году в Нашвилле. Полином, названный его именем, вырос в отдельную область на стыке топологии, алгебры и квантовой теории поля.