Черн: характеристические классы

Как он туда попал

Шиинг-Шен Черн (1911–2004) учился в Гамбурге у Бляшке, а в 1936–37 годах — в Париже у Эли Картана, который принимал его у себя дома по понедельникам. Дальше — война: Черн вернулся в Китай и десять лет проработал в Куньмине, куда эвакуировался объединённый университет, в почти полной изоляции от мировой науки, читая то, что доходило с перебоями в год-полтора.

В 1943 году американское приглашение и место в Институте перспективных исследований в Принстоне; добирался он туда военным транспортом через Индию и Африку, неделю просидев в самолёте на грузовых ящиках. За два принстонских года сделаны обе работы, о которых здесь речь.

Внутреннее доказательство ГауссаКарл Фридрих Гаусснемецкий математик и астроном · 1777–1855«Король математиков», у которого напечатанное было заметно меньше сделанного: половина результатов пролежала в дневнике до самой смерти — включая неевклидову геометрию. — Бонне (1944)

Формула

$$\int_{M}K\,dS=2\pi\chi(M)$$

известна для поверхностей (Гаусс и Бонне). Обобщение на чётномерные многообразия

$$\int_{M}\operatorname{Pf}(\Omega)=\chi(M)$$

(слева — пфаффиан формы кривизны) доказали в 1943 году Аллендорфер и ВейльГерман Вейльнемецкий математик и физик-теоретик · 1885–1955Соединил теорию групп с квантовой механикой, придумал калибровочную симметрию и был, по общему мнению, самым широко образованным математиком своего поколения.. Но доказали внешним способом: многообразие вкладывалось в евклидово пространство, и всё считалось там.

Для теоремы, вся суть которой — что геометрия определяется изнутри, это неестественно. Черн дал доказательство, не выходящее за пределы самого многообразия: он поднялся в расслоение единичных касательных векторов и показал, что там пфаффиан кривизны становится точной формой; интеграл сводится к вкладу особых точек векторного поля, а тот равен $\chi$ по теореме ПуанкареАнри Пуанкарефранцузский математик, физик и философ науки · 1854–1912Последний универсал математики: создал топологию, увидел хаос там, где все видели порядок, и подошёл к теории относительности вплотную, не сделав последнего шага. — ХопфаХайнц Хопфнемецко-швейцарский математик · 1894–1971Построил отображение трёхмерной сферы на двумерную, которое нельзя стянуть в точку, — и открыл этим высшие гомотопические группы, не вычисленные полностью до сих пор..

Работа занимает шесть страниц и считается образцовой. Заодно она задала способ мышления: чтобы понять многообразие, поднимись в расслоение над ним.

Классы Черна (1946)

Второй результат — тот, из-за которого имя встречается на этой линии постоянно.

Пусть над многообразием задано комплексное векторное расслоение $E$ со связностью, и $\Omega$ — её форма кривизны. Построим

$$c(E)=\det\left(I+\frac{i\Omega}{2\pi}\right)=1+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\cdots,$$

где $c_{k}$ — дифференциальная форма степени $2k$.

Смысл. Кривизна — вещь локальная и зависит от выбора связности: поменяли связность, изменилась кривизна во всех точках. Но классы когомологий, которые задают формы $c_k$, от связности не зависят вовсе, а их интегралы по циклам дают целые числа.

Локально произвольное — глобально жёстко фиксированное. Это ровно то же явление, что и в формуле Гаусса — Бонне: как ни мни сферу, интеграл кривизны равен $4\pi$. Черн лишь обнаружил, что таких инвариантов много и они образуют кольцо.

Простейший пример — первый класс Черна комплексного линейного расслоения над сферой $S^2$: это целое число, и оно равно, по существу, числу оборотов, которое делает слой при обходе экватора. Физики называют его магнитным зарядом монополя ДиракаПоль Дираканглийский физик-теоретик · 1902–1984Написал уравнение, из которого следовало существование античастиц, — и они нашлись. Ввёл дельта-функцию, которую математики двадцать лет считали недопустимой, а потом узаконили. и именно этим объясняют, почему заряд обязан быть квантованным.

Зачем это всей линии

Классы Черна встречаются на карте трижды, и до сих пор — как известные:

• в теореме об индексе правая часть формулы есть интеграл от характера Черна, умноженного на род Тодда;
• в теории Дональдсона размерность пространства модулей инстантонов считается через второй класс Черна, а сам инстантонный номер — это $\int c_2$;
• в калибровочных теориях классы Черна и ПонтрягинаЛев Семёнович Понтрягинсоветский математик · 1908–1988Ослеп в тринадцать лет и всё считал в уме; построил двойственность топологических групп, характеристические классы и принцип максимума — три вещи из разных наук, каждая из которых пережила автора. суть топологические заряды поля.

Ещё одна нить идёт от Черна прямо в физику: в 1974 году он вместе с Джеймсом Саймонсом ввёл формы, носящие теперь их имена, — формы Черна — Саймонса. Через пятнадцать лет ВиттенЭдвард Виттенамериканский физик-теоретик и математик · род. 1951Единственный физик, получивший Филдсовскую медаль. Объяснил инвариант узлов квантовой теорией поля — и десятилетиями подсказывает математикам теоремы, которые те потом доказывают своими средствами. построит на них трёхмерную квантовую теорию поля, из которой получаются инварианты узлов, включая полином Джонса. Тот же Саймонс несколько лет спустя объяснит ЯнгуЧжэньнин Янгкитайско-американский физик-теоретик · 1922–2025Написал уравнение, за которое получил Нобелевскую премию не по той работе, а математики двадцать лет спустя обнаружили, что это давно известная им геометрия., что калибровочные поля — это связности на расслоениях.

Черн переехал в Беркли в 1960 году, основал там математический институт, а в 1985-м — институт в Тяньцзине, куда вернулся жить. Премия Вольфа 1983 года.

Следующая точка: Ленинград — где зададут прямо противоположный вопрос: а нельзя ли говорить о кривизне вообще без производных?