Хайнц Хопф

До 1931 года математики были почти уверены: отображение сферы большей размерности в меньшую всегда стягивается в точку. Хопф предъявил контрпример — и предмет, который из него вырос, не закончен и через девяносто лет.

Бреслау, Гёттинген, Берлин

Родился в 1894 году в Бреслау (нынешний Вроцлав). Учился там же, война прервала учёбу — он ушёл на фронт, был ранен, вернулся и защитил диссертацию в Берлине в 1925 году, у Эрхарда Шмидта.

Решающим оказался год в Гёттингене. Там он слушал Эмми Нётер — и там же познакомился с Павлом Александровым, с которым они на всю жизнь остались друзьями и соавторами. От Нётер оба вынесли мысль, превратившую топологию в алгебраическую: считать надо не числа Бетти, а группы. Их совместная «Topologie» (1935) на десятилетия стала главным учебником предмета — второй том, задуманный ещё до войны, так и не вышел.

Расслоение Хопфа

Работа 1931 года сделана в Берлине, где Хопф был приват-доцентом. Он строит отображение трёхмерной сферы на двумерную, у которого прообраз каждой точки — окружность, а любые две такие окружности зацеплены.

Именно зацепленность и мешает стянуть отображение в точку: непрерывная деформация не умеет расцеплять окружности. Инвариант, различающий такие отображения, называется инвариантом Хопфа.

Следствие для предмета оказалось важнее самого примера. Стало ясно, что группы $\pi_m(S^n)$ при $m>n$ вовсе не тривиальны, — а вычислить их полностью не удалось до сих пор. Ни закономерности, ни формулы: известно, что при $m>n$ группы конечны, кроме двух серий (теорема Серра, 1951), известна «стабильная» часть, вычисление которой стало отдельной индустрией и продвинулось к нашим дням примерно до девяностого столбца, в том числе машинными методами.

Само расслоение потом обнаружилось всюду: в квантовой механике спина, в теории калибровочных полей, в кубите — множество состояний одного кубита есть в точности сфера Хопфа.

Цюрих

В том же 1931 году он получил кафедру в Цюрихском политехникуме — ту, что освободил Герман Вейль, уехавший в Гёттинген. Приглашение оказалось спасительным: жена Хопфа была еврейкой, и в 1943 году, когда положение немецких граждан в Швейцарии стало шатким, они приняли швейцарское гражданство.

В Цюрихе он создал школу алгебраической топологии, определившую предмет на десятилетия. Его имя носят теорема Пуанкаре — Хопфа (сумма индексов особых точек векторного поля равна эйлеровой характеристике — отсюда и теорема о причёсывании ежа), алгебры Хопфа (структура, из которой позже выросли квантовые группы) и гипотеза Хопфа о кривизне, не решённая до сих пор.

В 1955–58 годах Хопф был президентом Международного математического союза. Умер в 1971 году в Цолликоне под Цюрихом.