Карта → событие
Пуанкаре: случай как чувствительность
ЛапласПьер-Симон ЛапласСвёл небесную механику в пять томов, а теорию вероятностей — в один, и на полтора столетия задал образ мира, в котором будущее вычисляется из настоящего. построил демона и сделал вывод: случайности нет, есть незнание. Через восемьдесят лет Пуанкаре принимает и посылку, и самого демона — и получает противоположный вывод. Незнание неустранимо; больше того, случайность не просто уживается с детерминизмом, а выводится из него.
Премия, которая обошлась дороже, чем стоила
В 1885 году король Швеции Оскар II объявляет математический конкурс к своему шестидесятилетию. Первый из четырёх вопросов — об устойчивости Солнечной системы: разложить движение произвольного числа тел, притягивающихся по закону НьютонаИсаак НьютонСоздатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику., в ряд, сходящийся всегда.
В январе 1889 года премию — 2500 крон и золотую медаль — присуждают Пуанкаре. Мемуар готовят к печати в «Acta Mathematica». Редактор Эдвард Фрагмен задаёт по тексту несколько вопросов, Пуанкаре берётся пояснить — и в декабре находит у себя ошибку.
Ошибка была такая. Есть кривая, по которой движение приближается к неустойчивому равновесию, и кривая, по которой оно от него уходит. Пуанкаре считал, что они либо совпадают, либо не пересекаются вовсе. Оказалось — пересекаются, и не однажды, а бесконечно много раз.
Тираж был уже разослан. Пуанкаре просит его отозвать и уничтожить и платит за перепечатку 3585 крон — больше, чем стоила премия. Исправленный мемуар выходит в 1890 году и оказывается почти вдвое длиннее прежнего.
Что он там увидел
Фигура, получившаяся на месте ошибки, называется теперь гомоклинической сетью. Две кривые, пересёкшись однажды, обязаны пересечься снова, потом ещё, и так без конца; между пересечениями они изгибаются петлями, петли растягиваются и складываются, и вся конструкция запутывается сама в себе. Пуанкаре описал её словами и прямо признался, что рисовать не берётся: сложность фигуры поражает.
Практический смысл рисунка, которого нет: в такой системе две траектории, вышедшие из почти совпадающих точек, разбегаются — и разбегаются не понемногу, а по показательному закону.
Сколько стоит один знак после запятой
Пусть начальная неточность равна $\delta_0$, а расхождение растёт как
$$\delta(t) \approx \delta_0\, e^{\lambda t},$$
где $\lambda > 0$. Предсказание годится, пока расхождение не выросло до величины $\Delta$, при которой ответ теряет смысл. Отсюда время, на которое вообще можно предсказывать:
$$t_{\max} \approx \frac{1}{\lambda}\,\ln\frac{\Delta}{\delta_0}.$$
Точность стоит под логарифмом — и это приговор демону. Чтобы предсказывать вдвое дольше, точность надо не удвоить, а возвести в квадрат.
Числа для Солнечной системы: величина $1/\lambda$ для внутренних планет — около пяти миллионов лет. Улучшив измерения в десять миллиардов раз, мы купим себе
$$\frac{1}{\lambda}\,\ln 10^{10} \;\approx\; 5\ \text{млн лет} \times 23 \;\approx\; 115\ \text{млн лет}$$
дополнительного прогноза. Возраст Солнечной системы — четыре с половиной миллиарда лет. Демону, которому позволено знать положения и скорости с любой конечной точностью, её судьба недоступна.
Случай, выведенный из закона: рулетка
Второй ход Пуанкаре сильнее первого, и он же самый полезный в классе. В «Исчислении вероятностей» (1896), а потом в «Науке и методе» (1908) он разбирает рулетку.
Колесо разбито на много одинаковых секторов, попеременно красных и чёрных. Крупье пускает шарик с какой-то начальной скоростью. Механика здесь совершенно детерминированная: по начальной скорости конечный сектор определён однозначно. Но начальная скорость известна лишь приблизительно, и разброс её накрывает многие десятки секторов.
Пусть $p(v)$ — плотность распределения начальной скорости: какая угодно, лишь бы плавная. Вероятность красного — это интеграл от $p$ по тем промежуткам, которые приводят на красное, то есть по каждому второму. Если на протяжении пары соседних промежутков плотность меняется мало, вклады красных и чёрных почти одинаковы, и
$$P(\text{красное}) \longrightarrow \frac{1}{2}$$
тем точнее, чем мельче сектора по сравнению с разбросом. Ответ не зависит от того, какова была $p$: любой плавный разброс даёт ровно половину.
Вот это и стоит сказать школьнику, придумавшему демона. Случайность монетки детерминизму не противоречит — она из него получается. Монета есть механическая система, её полёт описывается обычными уравнениями; но зависимость результата от начального толчка настолько частая, что любое человеческое незнание толчка размазывается ровно пополам. Правильные шансы возникают не оттого, что законов нет, а оттого, что законы есть и они очень чувствительны.
У приёма есть имя — метод произвольных функций; общей теоремой его сделал Эберхард Хопф в 1930-х годах.
Для класса
Колесо разбито на равные сектора длины $h$ (по шкале начальной скорости), попеременно красные и чёрные. Начальная скорость случайна с плотностью $p(v)$, у которой есть производная.
Покажите, что
$$\left|\, P(\text{красное}) - \frac{1}{2} \,\right| \;\leqslant\; h \int |p'(v)|\,dv .$$
(Указание: разбейте ось на пары соседних секторов и в каждой паре сравните два интеграла; разность значений плотности в соответственных точках есть интеграл от $p'$ по отрезку длины $h$, а при фиксированном сдвиге эти отрезки для разных пар не пересекаются.)
Что отсюда следует: чем мельче сектор, тем ближе к честной монетке — и совершенно неважно, какова плотность $p$. Ни одного случайного слагаемого в модели нет.
Три вида случая
В «Науке и методе» Пуанкаре разбирает источники случая по отдельности, и разбор стоит того, чтобы пересказать его на уроке:
- Неустойчивое равновесие. Конус, поставленный на остриё, упадёт; куда — решает толчок, которого мы не заметили. Ничтожная причина, заметное следствие.
- Слишком много причин. Молекулы газа: уравнения известны все до одного, но их столько, что подробное описание бессмысленно. Здесь случайность — способ говорить об очень сложном, а не о неизвестном.
- Незнание причины вовсе. Самый бедный вид и единственный, который имел в виду Лаплас.
Первые два остаются, даже если демон существует. Поэтому у Пуанкаре случай — не отсутствие закона, а способ, которым закон устроен.
Что было дальше
Всё, что здесь сказано словами, через семьдесят три года посчитают на машине: три уравнения Лоренца дают ту же картину, и её уже можно нарисовать. Устойчивую половину задачи — какие движения всё-таки не разбегаются — закроет теория КАМ. А вопрос, который Пуанкаре поставил и не решил, — что же всё-таки называть случайным, — останется открытым ещё полвека: Борель даст первый признак, фон Мизес — первое определение, и только Колмогоров в 1965 году ответит.
О человеке
Анри Пуанкаре (1854–1912) — последний универсал математики: топология (см. «Analysis Situs»), небесная механика, теория функций, теория чисел, философия науки, и вдобавок специальная теория относительности, к которой он подошёл вплотную. По образованию горный инженер, выпускник Политехнической школы и Школы горного дела; несколько лет служил инспектором рудников и расследовал аварию на шахте. Его двоюродный брат Раймон Пуанкаре был президентом Франции в годы Первой мировой войны.