Теория вероятностей

От средневековых расчётов при игре в кости — к статистическому выводу, случайным процессам и аксиомам Колмогорова

История вероятности началась не в одной точке. У неё было по меньшей мере два источника — и они почти столетие не знали друг о друге.

Первый — математика азартных игр. Игроки выясняли, как сравнить ставки, как поделить банк в незаконченной партии, как оценить шансы при бросании костей. Здесь возникли пространство равновозможных исходов, комбинаторика и математическое ожидание. Характерная черта этой линии: вероятность считается до опыта, из симметрии предмета. Кость правильная — значит, у каждой грани шанс $1/6$; дальше работает чистый счёт.

Второй источник — учёт населения, смертей, болезней, страховых выплат и государственных доходов. Здесь появились таблицы смертности, демография и первые попытки найти устойчивые закономерности в массовых данных. Здесь вероятность, наоборот, извлекается из опыта: никто не знает «настоящую» вероятность дожить до сорока лет, её приходится оценивать по спискам умерших.

Это различие — не историческая случайность, а два разных смысла одного слова, которые философы называют алеаторным (вероятность как свойство устройства мира: кость симметрична) и эпистемическим (вероятность как мера нашей уверенности: свидетель, скорее всего, говорит правду). Спор о том, какой из них главный, идёт до сих пор, и его отголоски слышны в каждом современном курсе статистики.

Соединение произошло не сразу. Таблица смертности Эдмонда Галлея 1693 года впервые связала наблюдаемые данные с расчётом пожизненных рент. Закон больших чисел Якоба Бернулли (опубликован в 1713 г.) придал этой связи принципиальную математическую форму: при определённых условиях наблюдаемая частота события сходится к его вероятности. С этого момента «считать из симметрии» и «измерять по данным» стали двумя сторонами одной науки.

В XVIII–XIX веках де Муавр, Лаплас, Гаусс и Пуассон построили аналитическую теорию вероятностей и теорию ошибок. Петербургская школа — Чебышёв, Марков и Ляпунов — превратила предельные рассуждения в строгие теоремы с явными условиями. Одновременно Гальтон, Пирсон, Госсет, Фишер и Нейман создавали математическую статистику — науку о выводах из конечных и неизбежно шумных данных.

Наконец, в 1933 году Андрей Колмогоров изложил теорию вероятностей на языке множеств, функций и мер. Это не означало, что философский вопрос «что такое вероятность в действительности?» закрыт, — он и сегодня открыт. Но математическое исчисление вероятностей получило фундамент, на котором стоят современные случайные процессы, статистика, финансовая математика, теория информации и машинное обучение.

Открыть на карте

1

Амьен ок. 1250 г.
«De Vetula»: шансы в стихах
В латинской поэме De Vetula дан один из самых ранних известных в Европе правильных комбинаторных разборов броска трёх костей. Автор различает сочетания очков и способы, которыми они могут получиться, — ключевой шаг от бытового рассуждения об удаче к математике случайных исходов.
2

Венеция 1494
Пачоли: правильный вопрос и неправильный ответ
Францисканский монах, учитель Леонардо да Винчи и отец бухгалтерии, впервые печатает задачу о разделе прерванной игры — и решает её неверно. Полтора века математики будут спорить о задаче, пока Паскаль и Ферма не найдут ответ.
3

Милан ок. 1564; издана в 1663
Кардано: книга об игре, опубликованная слишком поздно
Джероламо Кардано одним из первых систематически рассматривал пространство равновозможных исходов, вероятности бросков костей и совместное наступление нескольких событий. Но его рукопись была напечатана лишь в 1663 году, через девять лет после переписки Паскаля и Ферма, и на рождение новой дисциплины почти не повлияла.
4

Флоренция ок. 1613–1623
Галилей: почему десять чаще девяти
Придворные игроки заметили, что при трёх костях сумма 10 выпадает чуть чаще девятки, хотя наборов очков у обеих поровну. Галилей объясняет, почему считать надо упорядоченные исходы, — и закрывает вопрос, открытый в «De Vetula» за 350 лет до того.
5

Париж лето 1654
Лето 1654 года: Паскаль, Ферма и задача о разделе ставки
Переписка Блеза Паскаля и Пьера Ферма дала общий метод решения задачи о разделе банка в прерванной игре. Главное новшество: справедливую долю игрока определяют не по уже набранным очкам, а по вероятности его будущей победы.
6

Лейден 1657
Гюйгенс: первый печатный учебник и рождение ожидания
Христиан Гюйгенс, узнав в Париже о переписке Паскаля и Ферма, но не о самих доказательствах, восстанавливает теорию сам и печатает первый в мире трактат о вероятностях. В его основе — не вероятность, а математическое ожидание.
7

Лондон 1662
Граунт: статистика из чумных списков
Галантерейщик обрабатывает лондонские бюллетени смертности и строит первую таблицу дожития. Статистика родилась не из костей, а из чумы — и почти век эти линии не пересекались.
8

Лондон 1693 (данные — Бреслау, 1687–1691)
Галлей: таблица Бреслау и цена человеческой жизни
Эдмунд Галлей строит первую полноценную таблицу дожития по надёжным данным и впервые вычисляет по ней справедливую цену пожизненной ренты. Вероятность и деньги впервые оказываются в одной формуле.
9

Базель рукопись — к 1690-м; издана в 1713
«Ars Conjectandi»: закон больших чисел
Якоб Бернулли доказывает первую предельную теорему: частота сходится к вероятности — значит, шансы можно измерять наблюдениями. Мост между исчислением игр и данными Граунта.
10

Лондон 12 ноября 1733
Де Муавр: рождение колокола
Гугенот-эмигрант, кормившийся консультациями игроков в кофейне, печатает за свой счёт семистраничную латинскую заметку. В ней впервые появляется нормальная кривая — и первая в истории оценка «правила трёх сигм».
11

Санкт-Петербург 1738 (задача поставлена Николаем Бернулли в 1713)
Даниил Бернулли: петербургский парадокс и полезность
Игра с бесконечным математическим ожиданием, за которую никто не согласен заплатить и двадцати рублей. Даниил Бернулли объясняет почему: люди максимизируют не деньги, а полезность. Рождение теории полезности и, через двести лет, поведенческой экономики.
12

Париж 1760, опубликовано в 1766
Даниил Бернулли: риск против риска
Прививка от оспы иногда убивает. Стоит ли прививаться? Даниил Бернулли строит первую в истории математическую модель эпидемии и первый анализ «риск против риска» в медицине. Даламбер возражает — и оба спора живы по сей день.
13

Танбридж-Уэллс до 1761; опубликовано в 1763
Теорема Байеса: от следствий к причинам
Пресвитерианский священник решает «обратную задачу»: как от наблюдений перейти к вероятности причины. Рукопись нашли в бумагах покойного; Лаплас переоткроет её, ничего не зная.
14

Париж 1805; Гёттинген, 1809
Лежандр и Гаусс: метод наименьших квадратов
Как провести кривую через точки, которые лежат не на кривой? Лежандр печатает ответ в Париже, Гаусс через четыре года печатает тот же ответ с припиской «пользуюсь с 1795 года» — и добавляет то, чего у Лежандра не было: вывод нормального закона ошибок.
15

Париж 1810–1812
Лаплас: собор классической вероятности
Центральная предельная теорема (1810) объясняет вездесущность колокола де Муавра, а «Théorie analytique des probabilités» (1812) собирает всю классическую теорию под одной крышей.
16

Лондон 1854
Джон Сноу: карта, снятая ручка и «великий эксперимент»
Врач наносит смерти от холеры на карту Сохо и убеждает приход снять рукоятку с колонки на Брод-стрит. Но статистически сильнее другая его работа — сравнение двух водопроводных компаний, снабжавших вперемешку соседние дома.
17

Лондон 1858
Флоренс Найтингейл: статистика как политическое действие
Большинство солдат в Крыму погибло не от ран, а от болезней в госпиталях. Найтингейл доказывает это цифрами, изобретает диаграмму, которую невозможно не понять, и добивается реформы. Первая женщина — член Статистического общества.
18

Санкт-Петербург 1867–1913
Петербургская школа: строгость трёх поколений
Чебышёв даёт закону больших чисел двухстрочное доказательство, Ляпунов строго доказывает ЦПТ, Марков снимает независимость — цепи Маркова. Одна кафедра, три поколения, вся строгость.
19

Лондон 1873–1875
Гальтон и Ватсон: вымирание фамилий
Викторианцы обеспокоены исчезновением аристократических фамилий. Гальтон ставит задачу в математическом журнале, священник Ватсон решает её производящими функциями — и ошибается в выводе. Из этой ошибки вырастают ветвящиеся процессы, а из них — расчёт цепной реакции.
20

Лондон 1885–1901
Лондон: биометрическая революция
Гальтон открывает регрессию и корреляцию (данные покупал по три пенса за посетителя), Пирсон строит хи-квадрат — рождается прикладная статистика и журнал Biometrika.
21

Париж мемуар о задаче трёх тел — 1890, «Наука и метод» — 1908
Пуанкаре: случай как чувствительность
Лаплас утверждал: случайности нет, есть наше незнание. Пуанкаре соглашается — и делает обратный вывод. Разбирая задачу трёх тел, он находит движения, у которых ничтожная разница в начальных данных через некоторое время даёт совершенно разные траектории. Значит, незнание неустранимо: чтобы предсказывать, демону мало знать почти всё, ему нужно знать точно, а точно не бывает. Детерминизм остаётся, предсказуемость исчезает — и случай возвращается уже как строгое понятие.
22

Дублин 1908
«Стьюдент» с пивоварни Guinness
Пивовар Госсет решает задачу малых выборок — сколько проб ячменя достаточно? Guinness запрещал публикации, и главный инструмент прикладной статистики вышел под псевдонимом Student.
23

Париж защита — 29 марта 1900
Башелье: случайное блуждание цен
Диссертация «Теория спекуляции»: цена акции как броуновское движение — за пять лет до Эйнштейна. Жюри поставило «honorable» — проходную, но недостаточную для университетской карьеры оценку.
24

Париж 1909
Борель: мера входит в вероятность
Эмиль Борель доказывает усиленный закон больших чисел и заодно устанавливает, что почти каждое число «нормально» — в его десятичной записи все цифры встречаются с равной частотой. Теория меры входит в вероятность за 24 года до Колмогорова.
25

Харьков 1912 и 1917
Бернштейн: полиномы и первая аксиоматика вероятности
Две вещи в одной точке. Полиномы Бернштейна доказывают теорему Вейерштрасса о приближении вероятностным рассуждением — и сегодня живут как кривые Безье. А «Опыт аксиоматического обоснования» на шестнадцать лет опережает Колмогорова, но строится на сравнении вероятностей, а не на мере.
26

Санкт-Петербург 23 января 1913
Марков: «Евгений Онегин» и цепи
Двадцать тысяч букв пушкинского текста, размеченных вручную, чтобы показать: закон больших чисел работает и для зависимых испытаний. Прямой предок PageRank, шенноновских моделей языка и, через них, языковых моделей.
27

Ташкент 1918–1949
Романовский: ташкентская школа и цепи Маркова
Математика Средней Азии создаётся почти с нуля одним человеком, приехавшим в Ташкент в 1918 году. Итог — «Дискретные цепи Маркова» 1949 года, первая книга, целиком посвящённая цепям.
28

Берлин статья — 1919, «Вероятность, статистика и истина» — 1928
Фон Мизес: случайно то, где нельзя выиграть системой
Первая серьёзная попытка определить не вероятность, а саму случайность. Фон Мизес предлагает «коллектив»: бесконечную последовательность исходов, у которой частоты имеют предел — и тот же предел сохраняется в любой подпоследовательности, выбранной по правилу, не подглядывающему вперёд. Второе условие есть точная запись того, что игрок и так чувствует за столом: беспроигрышной системы игры не бывает. Определение красиво; беда в том, что «правило выбора» само осталось неопределённым.
29

Киев 1932–1937
Крылов и Боголюбов: нелинейная механика
Киевская школа нелинейных колебаний, параллельная горьковской. Теорема Крылова — Боголюбова об инвариантных мерах становится входом в эргодическую теорию.
30

Москва 1933
«Grundbegriffe»: вероятность = мера
Колмогоров аксиоматизирует вероятность как теорию меры — ту самую, что выросла из рядов Фурье через Лебега. Вся современная вероятность стоит на этой книге.
31

Москва 1934
Хинчин: стационарные процессы
«Korrelationstheorie der stationären stochastischen Prozesse» — язык, на котором с тех пор говорят обработка сигналов и анализ временных рядов.
32

Париж диссертация — 1939
Вилль: коллектив опровергнут, появляется мартингал
Жан Вилль защищает в Париже диссертацию, где показывает: какой счётный набор правил выбора ни возьми, найдётся последовательность, удовлетворяющая всем условиям Мизеса и заведомо не случайная — доля единиц подходит к своему пределу всё время с одной стороны. Заодно Вилль вводит понятие, которым такие подделки и ловят: мартингал — капитал игрока, ставящего на исходы. Случайно то, на чём нельзя разбогатеть; через четырнадцать лет Дуб сделает из этого целую теорию.
33

Блетчли-парк 1940–1943
Тьюринг: вес свидетельства в Блетчли-парке
Чтобы взломать «Энигму», нужно перебирать гипотезы, накапливая слабые улики. Тьюринг переоткрывает байесовский вывод, вводит логарифмическую единицу свидетельства — «бан» — и последовательный критерий за два года до Вальда. Всё засекречено на семьдесят лет.
34

Москва 1941
Колмогоров: турбулентность и закон пяти третей
Три коротких заметки в «Докладах Академии наук»: вероятность выходит в физику сплошных сред. Закон пяти третей до сих пор проверяют в аэродинамических трубах и в атмосфере.
35

Нагоя Токио, 1942; Нагоя, 1944–1951
Итô: исчисление для случайных траекторий
Броуновская траектория нигде не дифференцируема — значит, привычное исчисление к ней неприменимо. Киёси Итô в изоляции военных лет строит интеграл и цепное правило для случайных процессов. Без формулы Итô не существует ни современной теории процессов, ни финансовой математики.
36

Нью-Йорк 1943
Вальд: последовательный анализ и пробоины
Испытания можно останавливать досрочно, когда данных достаточно, — метод немедленно засекречен. Его же разбор пробоин бомбардировщиков — канонический пример ошибки выжившего.
37

Лос-Аламос 1946–1949
Улам и фон Нейман: вычислять вероятностью
Станислав Улам, раскладывая пасьянс во время болезни, понимает: вместо того чтобы вычислять вероятность комбинаторно, проще разыграть партии и посчитать. Поворот на 180 градусов — теперь не математика служит случаю, а случай служит математике.
38

Мюррей-Хилл (Bell Labs) 1948
Шеннон: вероятность становится информацией
Клод Шеннон определяет количество информации через энтропию распределения и доказывает, что у канала связи есть точная пропускная способность. Вероятность из инструмента расчёта шансов превращается в меру незнания.
39

Урбана (Иллинойс) 1953
Дуб: мартингалы и «справедливая игра»
Джозеф Дуб издаёт «Stochastic Processes» — книгу, после которой аксиоматика Колмогорова стала рабочим языком, а мартингал — центральным понятием. Идея честной игры, восходящая к Гюйгенсу, получает точное определение и мощнейшие теоремы.
40

Будапешт 1959–1960
Эрдёш и Реньи: случайный граф и фазовый переход
Чтобы доказать, что объект с нужными свойствами существует, необязательно его строить — достаточно показать, что случайный объект обладает ими с ненулевой вероятностью. Эрдёш и Реньи превращают этот приём в теорию случайных графов и обнаруживают фазовый переход.
41

Москва семинар в МГУ, 1960-е; публикации 1962–1964
Колмогоров: стих как случайный процесс
В начале 1960-х Колмогоров ведёт в Московском университете семинар по стиховедению и приносит туда то, чего филологии не хватало полвека: нулевую гипотезу. Ритмическая особенность существует, только если её нельзя объяснить одним словарём языка.
42

Москва 1963 и 1965
Колмогоров: случайно — значит несжимаемо
Из подсчёта информации в стихе вырастает определение случайного

Через тридцать два года после своих аксиом Колмогоров возвращается к вопросу, который они обошли: что такое случайный объект? Ответ: сложность слова — это длина самой короткой программы, которая его печатает. Миллион нулей печатается коротким циклом; у случайного слова короткой программы нет, его придётся выписать целиком. Случайность перестаёт быть свойством мира и становится свойством описания — и её теперь можно мерить в битах. Годом раньше к тому же понятию независимо пришёл Рэй Соломонов, искавший формализацию индукции.
43

Йорктаун-Хайтс 1963
Мандельброт: хвосты толще, чем кажется
Изучив вековой ряд цен на хлопок, Бенуа Мандельброт обнаруживает, что нормальный закон не описывает финансовые рынки: крупные скачки случаются несопоставимо чаще. Необходимая контрточка ко всей гауссовой линии.
44

Кембридж (Массачусетс) перезапуск расчёта — 1961, статья — 1963, «крыло бабочки» — 1972
Лоренц: три уравнения, которые нельзя досчитать
Чувствительность Пуанкаре — на трёх уравнениях, которые можно нарисовать

Метеоролог из Массачусетского технологического перезапускает расчёт погоды с распечатки, где числа округлены до трёх знаков вместо шести, — и получает совершенно другую погоду. Из этой неприятности он выделяет систему трёх обыкновенных дифференциальных уравнений: полностью детерминированную, без единого случайного слагаемого, с решениями, которые не повторяются никогда и расходятся экспоненциально. То, о чём Пуанкаре рассуждал, здесь можно нарисовать.
45

Женева статья — 1964, опыты — 1982 и 2015, Нобелевская премия — 2022
Белл: неравенство, которое можно проверить
Спор Эйнштейна и Бора о том, стоят ли за квантовой случайностью скрытые причины, считался философским, пока сотрудник ЦЕРНа не превратил его в арифметику. Белл выписывает неравенство для корреляций двух разлетевшихся частиц: если исходы предопределены заранее, а сигнал не обгоняет свет, некая комбинация не может превысить двойки. Квантовая механика обещает почти тройку. Опыты Аспе, а затем безлазеечные опыты 2015 года дали квантовый ответ; в 2022-м за это присуждена Нобелевская премия. Демон, знающий положения и скорости, больше не спасает.
46

Чикаго 1973
Блэк, Шоулз и Мертон: цена неопределённости
Формула для цены опциона, выведенная из требования, что риск можно устранить непрерывным хеджированием. Диссертация Башелье, отвергнутая как несерьёзная в 1900 году, замыкается Нобелевской премией 1997-го.