Даниил Бернулли: риск против риска

Ситуация

Натуральная оспа в Европе XVIII века — главная причина смерти после чумы: по оценкам, до 400 тысяч смертей в год, до трети случаев слепоты. Переболевшие получали пожизненный иммунитет.

Вариоляция — намеренное заражение материалом от больного лёгкой формой — практиковалась на Востоке и была завезена в Англию леди Мэри Уортли Монтегю в 1721 году. Она давала иммунитет, но убивала примерно одного привитого из двухсот.

Отсюда мучительный выбор, знакомый и сегодня. Не прививаться — риск умереть от болезни, растянутый на всю жизнь. Привиться — небольшой риск умереть сейчас, от собственного решения, будучи здоровым.

Модель

16 апреля 1760 года Даниил Бернулли докладывает Парижской академии наук работу, опубликованную с задержкой в 1766-м:

«Essai d'une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole et des avantages de l'inoculation pour la prévenir»
(«Опыт нового анализа смертности, вызываемой оспой, и о преимуществах инокуляции для её предупреждения»)

Он вводит две функции для когорты возраста $a$:

$S(a)$ — число ещё не болевших (восприимчивых);
$P(a)$ — общее число живых.

И две постоянные:

$q$ — годовая вероятность заразиться для восприимчивого (Бернулли берёт $q = 1/8$);
$p$ — вероятность умереть, заболев ($p=1/8$).

Динамика восприимчивых: они убывают от заражений и от прочих причин смерти $\mu(a)$:

$$\frac{dS}{da} = -qS - \mu(a)S.$$

Общая численность убывает от смертей от оспы и от прочих причин:

$$\frac{dP}{da} = -pqS - \mu(a)P.$$

Приём Бернулли — разделить переменные. Введём долю восприимчивых $s = S/P$. Тогда, дифференцируя частное:

$$\frac{ds}{da} = \frac{S'P - SP'}{P^{2}} = \frac{(-qS-\mu S)P - S(-pqS - \mu P)}{P^{2}} = -qs + pq s^{2}.$$

Получилось уравнение Бернулли (что уместно), и оно решается. Подстановка $z = 1/s$ даёт линейное уравнение $z' = q z - pq$, откуда $z = p + (z_0 - p)e^{qa}$, и при $s(0)=1$:

$$\boxed{\;s(a) = \frac{S(a)}{P(a)} = \frac{1}{p + (1-p)e^{qa}}\;}$$

Подставляя $p=q=1/8$: доля не болевших к 10 годам $\approx 0{,}25$, к 20 годам $\approx 0{,}095$, к 30 — около $0{,}035$. То есть к тридцати годам оспой переболели почти все, что соответствовало наблюдениям.

Это первая в истории математическая модель распространения инфекции. До Кермака и Маккендрика (модель SIR, 1927) — сто шестьдесят семь лет.

Ответ

Дальше Бернулли строит гипотетическую таблицу дожития для мира без оспы: убирает член $pqS$ и сравнивает с реальной таблицей Галлея.

Результат: ожидаемая продолжительность жизни при рождении вырастает примерно с 26 лет 7 месяцев до 29 лет 9 месяцев — выигрыш около трёх лет и двух месяцев.

Затем сравнение с риском прививки. Если вариоляция убивает $1/200$ привитых немедленно, а даёт в среднем три года жизни, то ожидаемый баланс явно в пользу прививки — даже с учётом того, что риск наступает сразу, а выгода растянута.

Вывод Бернулли: прививать надо, причём в раннем детстве.

Возражение Даламбера

Жан Лерон д’Аламбер — тот, кто возразилAfter Maurice Quentin de La Tour · Public domain

Жан Лерон Даламбер возразил в 1761 году, и его возражение — не обскурантизм, а серьёзная методологическая критика, давайте разберёмся с ней.

Довод первый: ожидание — не всё. Сравнивать «немедленную смерть с вероятностью 1/200» и «три дополнительных года через несколько десятилетий», просто складывая их в одно математическое ожидание, некорректно. Это разные по природе величины. Здесь Даламбер, по существу, применяет к отцу теории полезности его же аргумент из петербургского парадокса — и делает это осознанно.

Довод второй: чья это выгода. Государство максимизирует средний срок жизни населения. Родитель решает за конкретного ребёнка. Это разные задачи с разными целевыми функциями, и ответ на одну не есть ответ на другую. Даламбер прямо ставит вопрос о том, вправе ли власть вменять гражданам риск ради статистического выигрыша.

Довод третий: дисконтирование. Годы жизни в отдалённом будущем субъективно ценятся ниже, чем сегодняшний день. С сегодняшними понятиями это дисконтирование полезности.

Спор шёл несколько лет и не был выигран ни одной стороной. Даниил считал, что Даламбер придирается к методу вместо того, чтобы предложить лучший; Даламбер — что Даниил подменяет решение расчётом.

Почему мы решили об этом рассказать и поместили на карту эту точку

Во-первых, это первый количественный анализ медицинского решения. Прямые потомки: анализ «затраты — эффективность», QALY (годы жизни с поправкой на качество), современные регуляторные решения о вакцинах, оценка риска лекарств.

Во-вторых, здесь впервые сформулирована проблема, которая не решена до сих пор. Как сравнивать риск от действия с риском от бездействия, когда первый определён и немедленный, а второй размазан по времени? Психологически люди систематически завышают первый — это то, что Канеман и Тверски назовут неприятием потерь и предубеждением бездействия (omission bias). Спор 1760 года воспроизводится в любой публичной дискуссии о вакцинации.

В-третьих, красивая математика в доступном объёме. Уравнение $s' = -qs + pqs^2$ решается школьными средствами (подстановка $z=1/s$), а результат содержателен и проверяем.

Постскриптум. В 1796 году Дженнер заменил вариоляцию вакцинацией коровьей оспой, снизив риск процедуры на порядки, и математическое сравнение стало тривиальным. В 1980 году ВОЗ объявила оспу полностью искоренённой — единственную человеческую болезнь за всю историю.