Карта → событие
Даниил Бернулли: петербургский парадокс и полезность
Задача
Формулировка (в позднейшем каноническом виде): подбрасываем правильную монету, пока не выпадет орёл. Если это случилось на $n$-м броске, вы получаете $2^{n}$ рублей.
Сколько вы готовы заплатить за право сыграть?
Считаем ожидание:
$$E[X] = \sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{\frac{1}{2^{n}}}_{P(\text{орёл на }n)}\cdot\, 2^{n} = \sum_{n=1}^{\infty} 1 = \infty.$$
Ожидаемый выигрыш бесконечен. По всей теории ГюйгенсаХристиан ГюйгенсНаписал первый печатный учебник теории вероятностей, изобрёл маятниковые часы, открыл кольца Сатурна и объяснил свет волнами. (справедливая цена = ожидание) вы должны быть готовы отдать любую сумму: миллион, миллиард, всё имущество.
Никто на это не идёт. Опросы дают типичные ответы в диапазоне 10–20 денежных единиц.
Значит, теория ожидания как теория рационального поведения неверна. Это первый в истории случай, когда безупречная математическая теория опровергнута не расчётом, а наблюдением за людьми.
История и название
Задачу поставил Николай I Бернулли в письме Монмору от 9 сентября 1713 года — в том же году, когда он издавал «Ars Conjectandi» покойного дяди Якоба («Ars Conjectandi»). Его исходная версия была чуть иной: игрок получает 1 крону за шестёрку на первом броске кости, 2 за шестёрку на втором, 3 на третьем и так далее. Николай сам заметил, что при геометрическом росте призов ожидание расходится.
Габриэль Крамер в письме 1728 года предложил решение через убывающую предельную ценность денег.
Даниил Бернулли, двоюродный брат Николая, работавший тогда в Петербургской академии наук, опубликовал разбор в 1738 году в академическом журнале «Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae»:
«Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis» — «Опыт новой теории измерения жребия».
Отсюда и название парадокса — не от места действия игры, а от журнала. Даниил честно упомянул, что Крамер пришёл к близкой идее раньше.
Решение: полезность
Ключевая мысль Даниила: ценность денег для человека зависит от того, сколько у него уже есть. Тысяча рублей нищему и тысяча рублей миллионеру — разные вещи, хотя сумма одна.
Формализуя: пусть $u(w)$ — полезность богатства $w$. Естественно потребовать, чтобы прирост полезности был пропорционален относительному приросту богатства:
$$du = k\,\frac{dw}{w} \quad\Longrightarrow\quad u(w) = k\ln w + C.$$
Логарифмическая полезность. Теперь считаем ожидаемую полезность игры при начальном богатстве $w_0$ и цене входа $c$:
$$E[u] = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}\,\ln\left(w_{0}-c+2^{n}\right).$$
Ряд сходится, потому что $\ln 2^n = n\ln 2$ растёт линейно, а $2^{-n}$ убывает геометрически:
$$\sum_{n} \frac{n\ln 2}{2^{n}} = 2\ln 2 < \infty.$$
Справедливая цена $c^{*}$ определяется из $E[u] = u(w_0)$. Численно: при $w_0 = 1000$ получается $c^{*}\approx 6$; при $w_0=10^{6}$ — около 11; при $w_0 = 10^{9}$ — около 16.
Цена растёт с богатством, но крайне медленно — логарифмически. Именно это и наблюдается: даже очень богатый человек не отдаст за игру состояние.
Три вещи, родившиеся здесь
1. Не всякая случайная величина имеет ожидание. Задача стала первым учебным примером того, что $E[X]$ может не существовать. Ряд $\sum 1$ расходится — и никакие уловки этого не меняют. Сравните с распределением КошиОгюстен Луи КошиПервым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить., у которого ожидание не существует по другой причине (расходимость с обеих сторон).
Поучительно посмотреть, что происходит при конечном числе бросков. Если банк ограничен $2^{N}$, ожидание становится $N+1$: чтобы игра стоила 20 рублей, банк должен иметь порядка $2^{19} \approx 500\,000$ рублей; чтобы стоила 40 — порядка $10^{12}$. Реальная цена игры определяется платёжеспособностью банка, и это само по себе хороший урок.
2. Теория полезности. Отсюда прямая линия к аксиоматике фон НейманаДжон фон НейманАксиоматизировал квантовую механику, основал теорию игр, придумал архитектуру компьютера и метод Монте-Карло — и всё это, по мнению современников, не напрягаясь. — Моргенштерна («Theory of Games and Economic Behavior», 1944), к теории неприятия риска (Эрроу, Пратт, 1960-е) и ко всей современной микроэкономике. Коэффициент абсолютного неприятия риска
$$r(w) = -\frac{u''(w)}{u'(w)}$$
для логарифмической полезности равен $1/w$ — чем богаче, тем меньше страх риска.
3. Критерий Келли. Максимизация $E[\ln w]$ — не только объяснение парадокса, но и практическая стратегия. Если у вас есть повторяющееся выгодное пари с вероятностью выигрыша $p$ и коэффициентом $b$, оптимальная доля капитала на ставку:
$$f^{*} = \frac{pb-(1-p)}{b}.$$
Это критерий Келли (1956), и он максимизирует именно логарифм капитала — то есть даниилову полезность. Стратегия «ставить всё» разоряет с вероятностью 1, стратегия Келли даёт максимальный темп роста. Показать это в классе можно за один урок, и впечатление производит сильное.
Возражения, которые остаются
Полезность не закрывает вопрос полностью. Возьмём суперпетербургскую игру с выигрышем $2^{2^{n}}$: тогда
$$E[\ln(\text{выигрыш})] = \sum_{n}\frac{2^{n}\ln 2}{2^{n}} = \infty,$$
и парадокс воспроизводится уже для логарифмической полезности. Ответ Менгера (1934): полезность должна быть ограниченной, иначе парадокс всегда можно построить заново.
Остаются и другие линии: конечность банка, конечность времени жизни игрока, невозможность повторить игру достаточно много раз. Философская литература о петербургском парадоксе продолжает выходить до сих пор.
Даниил Бернулли в Петербурге
Даниил (1700–1782) провёл в Петербургской академии 1725–1733 годы вместе с братом Николаем II (умершим там в 1726-м) и по его рекомендации привёз в Россию ЭйлераЛеонард ЭйлерСамый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя.. Петербургский период дал ему не только этот парадокс, но и начала гидродинамики — «Hydrodynamica» (1738, тот же год) с законом Бернулли написана в основном там.