Европа · мемуар 1738 года
Петербургская игра
Как звучало тогда
Пётр бросает монету, пока не выпадет орёл. Он обязуется дать Павлу один дукат, если орёл выпадет с первого броска, два — если со второго, четыре — если с третьего, и так далее. Спрашивается, чего стоит ожидание Павла.
Условие
Монету бросают до первого орла. Если он выпал на $n$-м броске, игрок получает $2^{n}$ дукатов. Найти математическое ожидание выигрыша. Сколько вы согласились бы заплатить за участие?
Показать ответ
ожидание бесконечно: каждый бросок добавляет к нему по дукату; заплатить же разумный человек согласен единицы дукатов
О чём эта задача
Сумма $\sum 2^n\cdot 2^{-n}$ есть $1+1+1+\ldots$ — она растёт без предела, и справедливой ценой выходит бесконечность. Между тем никто не отдаст за такую игру и двадцати дукатов, и это не глупость игрока, а изъян мерки. Даниил Бернулли предложил измерять не деньги, а их полезность, растущую как логарифм: тогда цена игры оказывается конечной и небольшой. Отсюда пошла вся экономическая теория поведения — и повод сказать классу, что математическое ожидание не всегда отвечает на вопрос «стоит ли играть».
Разбор — «как решали тогда» и «как решают сейчас» — для этой задачи ещё не написан.