«De Vetula»: шансы в стихах

Текст и его загадка

Поэма «De Vetula» («О старухе») — латинское сочинение середины XIII века, которое веками приписывалось древнеримскому поэту Овидию и даже включалось в средневековые издания его стихов. Сюжет поэмы — вымышленная автобиография поэта, разочаровавшегося в любви и обратившегося к наукам; внутри — обзор квадривиума (quadrivium: арифметика, геометрия, музыка и астрономия), рассуждения об астрономии, о рыбной ловле и, что особенно значимо для нашего рассказа, точный комбинаторный разбор игры в кости.

Кто автор — до сих пор не решено. С XV века и до недавнего времени наиболее вероятным кандидатом считался Ришар де Фурниваль (ок. 1201–1260), поэт-трувер и канцлер Амьенского собора. Однако в последние годы всерьёз обсуждается версия об английском философе Роджере Бэконе (ок. 1220–1292). Так что «Амьен, ок. 1250» — это удобная точка на карте, а не установленный факт; честнее говорить «Северная Франция или Англия, середина XIII века».

Сохранилось около шестидесяти списков поэмы, её читали и цитировали Роджер Бэкон и Николай Орем. Но математическую часть заметили только в XIX веке.

Суть задачи: бросок трёх костей

Игра в три кости была в средневековой Европе повседневностью — примерно как сегодня карты. Играющие интуитивно знали, что «десятка» выпадает чаще «тройки», но объяснить это не умели. Более того, широко бытовало представление, что все сочетания очков равновозможны.

Игроки в кости. Миниатюра XIV века — ровно та обстановка, из которой выросла первая задача о шансахCC0

Автор поэмы задаёт правильный вопрос: сколько всего существует способов, которыми три кости могут лечь на стол?

Каждая кость имеет $6$ граней, кости различимы (хотя бы мысленно: первая, вторая, третья). По правилу произведения

$$6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216 .$$

Это число $216$ — пространство элементарных исходов. Дальше начинается самое интересное.

Сочетания и исходы: разница, на которой всё держится

Если не различать порядок, то бросок описывается неупорядоченным набором из трёх чисел от $1$ до $6$ с возможными повторами — тем, что в комбинаторике называют мультимножеством. Их количество даётся формулой числа сочетаний с повторениями:

$$\bar{C}_6^{\,3} = C_{6+3-1}^{3} = C_8^3 = \frac{8\cdot 7\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3} = 56 .$$

(Здесь $\bar{C}_n^{\,k}$ — число сочетаний с повторениями: $\bar{C}_n^{\,k} = C_{n+k-1}^{k}$.)

Автор поэмы получает то же число $56$ прямым разбором, разделив наборы на три типа:

Тип набора	Пример	Сколько наборов	Способов выпасть	Итого исходов
Три одинаковых	$(1,1,1)$	$C_6^1 = 6$	$1$	$6$
Два одинаковых, один другой	$(1,1,2)$	$6 \cdot 5 = 30$	$3$	$90$
Все три разных	$(1,2,3)$	$C_6^3 = 20$	$3! = 6$	$120$
Всего		$\mathbf{56}$		$\mathbf{216}$

Проверка: $6 + 90 + 120 = 216$. Гнеденко в «Очерке истории теории вероятностей» приводит эту выкладку в виде одного равенства, буквально записанного в поэме:

$$6 \times 1 + 30 \times 3 + 20 \times 6 = 216 .$$

Почему у пар именно $3$ способа? Набор $\{1,1,2\}$ реализуется как $(1,1,2)$, $(1,2,1)$, $(2,1,1)$ — надо выбрать, какая из трёх костей «выбивается»: $C_3^1=3$. Почему у разных — $6$? Это все перестановки трёх различных объектов: $3!=6$.

Здесь и лежит открытие. $56$ — это то, что игрок видит на столе. $216$ — это то, по чему надо считать вероятности. Наборы не равновозможны; равновозможны исходы.

Распределение суммы очков

Автор идёт дальше и связывает каждую из $16$ возможных сумм ($3, 4, \dots, 18$) с числом способов её получить. На современном языке это коэффициенты многочлена

$$(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^3 = \sum_{s=3}^{18} N_s \, x^{s},$$

где $N_s$ — количество упорядоченных исходов с суммой $s$. Вот полная таблица:

Сумма $s$	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
$N_s$	1	3	6	10	15	21	25	27	27	25	21	15	10	6	3	1

Сумма всех $N_s$ равна $216$. Отсюда, например,

$$P(s=3) = \frac{1}{216} \approx 0{,}46\%, \qquad P(s=10) = \frac{27}{216} = \frac{1}{8} = 12{,}5\% .$$

Разница в $27$ раз — вот численный ответ на вопрос, почему «десятка» идёт чаще «тройки».

Симметрия таблицы видна невооружённым глазом и доказывается одной строкой: замена каждой кости $x_i \mapsto 7 - x_i$ — это биекция множества исходов на себя, переводящая сумму $s$ в $21 - s$. Значит, $N_s = N_{21-s}$ всегда. Отсюда сразу и математическое ожидание суммы:

$$E[s] = 3 \cdot E[x_1] = 3 \cdot \frac{1+2+\dots+6}{6} = 3 \cdot 3{,}5 = 10{,}5 ,$$

ровно центр симметрии.

Что было до и что после

Игральный инвентарь древнее письменности: астрагалы — таранные кости овец и коз — находят в гробницах фараонов, а кубические кости известны с бронзового века. Но ни одного расчёта шансов от античности до нас не дошло. Почему — вопрос, над которым историки спорят до сих пор: то ли мешала неотделённость случая от воли богов, то ли отсутствие удобной арифметики, то ли просто утрата текстов.

Следующий заметный шаг сделает Галилей (Флоренция, ок. 1620): в короткой записке «Sopra le scoperte dei dadi», написанной по просьбе великого герцога Тосканского, он объяснит, почему при трёх костях сумма $10$ выпадает чаще девятки. Игроки заметили это эмпирически и удивились: ведь у девятки, как и у десятки, ровно шесть сочетаний!

$$9: \{1,2,6\},\{1,3,5\},\{1,4,4\},\{2,2,5\},\{2,3,4\},\{3,3,3\} \;\Rightarrow\; 6+6+3+3+6+1 = 25$$
$$10: \{1,3,6\},\{1,4,5\},\{2,2,6\},\{2,3,5\},\{2,4,4\},\{3,3,4\} \;\Rightarrow\; 6+6+3+6+3+3 = 27$$

Сочетаний поровну, исходов — нет. Разница $27$ против $25$ — около $8\%$; чтобы заметить её на глаз, нужны тысячи бросков, и то, что игроки её заметили, говорит об интенсивности игры куда красноречивее любой хроники.

Итог: правильный комбинаторный подсчёт шансов появился в Европе в стихах, за четыре века до Паскаля, — и остался незамеченным математиками.

Задача. Докажите, что $N_s$ — коэффициент при $x^s$ в $\displaystyle \left(\frac{x(1-x^6)}{1-x}\right)^3$, и выведите замкнутую формулу
$$N_s = \sum_{j\geqslant 0} (-1)^j\, C_3^{\,j}\, C_{\,s-6j-1}^{\,2}.$$
Подставьте $s=10$ и убедитесь, что получается $27$.