Карта → событие
Пачоли: правильный вопрос и неправильный ответ
Книга
Лука Пачоли (ок. 1447–1517) издаёт в Венеции «Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità» («Краткое изложение арифметики, геометрии, пропорций и пропорциональности») — энциклопедию всей математики, известной к тому моменту в Италии. Одна из первых печатных математических книг вообще (Гутенберг — 1450-е), и первая, изданная на народном итальянском, а не на латыни.
Пачоли известен прежде всего как отец двойной бухгалтерии: раздел «Particularis de computis et scripturis» — первое печатное описание системы дебета и кредита, до сих пор лежащей в основании всего бухгалтерского учёта. Он также автор «De divina proportione» (1509) о золотом сечении, к которой иллюстрации сделал Леонардо да Винчи, живший с Пачоли в одном доме в Милане и учившийся у него математике.
Задача
В разделе «необычных задач» Пачоли ставит:
Двое играют в мяч до шести побед, ставка 60 дукатов. Игра прервана при счёте 5:3. Как разделить ставку?
Его ответ: пропорционально набранным очкам, то есть $5:3$, что даёт 37,5 и 22,5 дуката.
Ответ неверен, и это видно из простого возражения, которое сформулирует ТартальяНикколо ТартальяЗаика с рассечённым лицом, самоучка из Брешии: выиграл главный математический поединок эпохи и проиграл спор о том, кому принадлежит формула.: рассмотрим игру до 100 побед, прерванную при счёте 5:3. По Пачоли делить надо так же, 5:3 — хотя очевидно, что при счёте 5:3 в игре до ста позиции почти равны.
Ошибка содержательна: Пачоли смотрит назад, на уже сыгранное. Правильный ответ требует смотреть вперёд — на то, сколько побед каждому осталось добрать.
Правильный ответ и его расстояние от Пачоли
Верное решение (Паскаль и Ферма): доля игрока определяется вероятностью его победы в недоигранной части. Если $A$ не хватает $a$ побед, $B$ — $b$ побед, то
$$P_{A} = \frac{1}{2^{\,a+b-1}}\sum_{k=0}^{b-1} C_{a+b-1}^{\,k}.$$
Для задачи Пачоли: $a=1$, $b=3$, $n = a+b-1 = 3$.
$$P_{A} = \frac{C_{3}^{0}+C_{3}^{1}+C_{3}^{2}}{2^{3}} = \frac{1+3+3}{8} = \frac{7}{8}.$$
Делить надо 7:1, то есть 52,5 и 7,5 дуката. Пачоли предлагал 37,5 и 22,5 — ошибка в пользу отстающего почти втрое.
Проверка перебором (всё разыгрывается максимум за 3 партии, $2^3=8$ равновозможных исходов): $B$ выигрывает только если возьмёт все три подряд — 1 исход из 8. Остальные 7 достаются $A$. $\checkmark$
Полтора века безуспешных попыток
| Автор | Год | Предложение | Оценка |
|---|---|---|---|
| Пачоли | 1494 | Пропорционально набранным очкам | Неверно |
| Тарталья | 1556 | Критикует Пачоли; предлагает делить по отношению разности очков к цели; честно признаёт, что задача, возможно, не имеет чисто математического решения | Неверно, но критика точна |
| КарданоДжероламо КарданоНапечатал чужое решение кубического уравнения и получил за это славу и вечные упрёки; первым в истории посчитал шансы в игре — и эту книгу не напечатал вовсе. | 1539, 1564 | Учитывать оставшиеся партии, а не сыгранные; предлагает делить как $\sum_{i=1}^{b} i$ к $\sum_{i=1}^{a} i$ | Направление верное, формула нет |
| Певероне | 1558 | Близко к верному в частных случаях | Ближе всех до 1654 |
| ПаскальБлез ПаскальСобрал в шестнадцать лет теорему о шестиугольнике, в девятнадцать — счётную машину, в тридцать один — теорию вероятностей, а потом бросил математику ради Бога. и ФермаПьер ФермаСоветник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей. | 1654 | Через вероятность будущей победы | Верно |
Кардано ближе всех подошёл концептуально: он первым сказал, что считать надо оставшиеся партии. Его формула для нашего случая ($a=1$, $b=3$) даёт отношение $(1+2+3):(1)=6:1$ вместо верного $7:1$ — почти, но не то.
Если Пачоли не прав, то зачем мы добавили на карту эту точку?
Во-первых, она показывает масштаб достижения 1654 года. Обычно рассказ о Паскале и Ферма (который нам ещё предстоит!) выглядит так: «умные люди быстро решили задачку». На деле над ней сто шестьдесят лет бились лучшие алгебраисты Европы — те самые, кто решил уравнения третьей и четвёртой степени. Задача про мяч оказалась труднее кубического уравнения, потому что требовала не новой техники, а нового понятия.
Во-вторых, она диагностирует, чего именно не хватало. Не арифметики — арифметика тут простая. Не хватало идеи, что можно приписывать числа несостоявшимся событиям. Мысль «посчитаем, что было бы, если бы доиграли» требует признать за возможностями объективную меру. Это философский, а не вычислительный шаг.
В-третьих, это просто отличная задача, а ошибка Пачоли настолько естественна, что её интуитивно воспроизводит почти любой (кроме, конечно, нашего мудрого читателя 😜). А контрпример Тартальи (игра до ста) мгновенно убеждает, что первый пришедший в голову ответ неверен.
Задача. Игра до 6 побед, счёт 4:3, банк 60 дукатов. Как разделить?
Ответ: $a=2$, $b=3$, $n=4$, $P_A = (1+4+6)/16 = 11/16$, то есть 41,25 и 18,75.