Карта → событие
Кардано: книга об игре, опубликованная слишком поздно
О ком речь?
Джероламо Кардано (1501–1576) — врач, философ, астролог, изобретатель карданного вала, азартный игрок и один из крупнейших алгебраистов XVI века. В «Ars Magna» (1545) он изложил методы решения уравнений третьей и четвёртой степени — кубические по формуле, восходящей к Сципиону дель Ферро и ТартальеНикколо ТартальяЗаика с рассечённым лицом, самоучка из Брешии: выиграл главный математический поединок эпохи и проиграл спор о том, кому принадлежит формула., уравнения четвёртой степени по методу своего ученика Феррари. О своей игре он писал в автобиографии с обезоруживающей прямотой: играл двадцать пять лет, и не время от времени, а стыдно сказать — каждый день.
Трактат «Liber de ludo aleae» — «Книга об игре в кости», точнее «Книга об игре случая» — компиляция заметок, писавшихся с перерывами лет сорок: часть, по-видимому, ещё в 1520-е, часть около 1565-го. Рукопись осталась в бумагах и была напечатана только в 1663 году, в десятитомном собрании сочинений Кардано, — через 87 лет после смерти автора и через девять лет после переписки ПаскаляБлез ПаскальСобрал в шестнадцать лет теорему о шестиугольнике, в девятнадцать — счётную машину, в тридцать один — теорию вероятностей, а потом бросил математику ради Бога. и ФермаПьер ФермаСоветник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей.. К этому моменту всё существенное в ней уже было переоткрыто другими.
Читать книгу тяжело: в ней нет ни современных обозначений, ни внятной структуры, а главы иногда противоречат друг другу — потому что писались с интервалом в десятилетия. Классический английский перевод и разбор принадлежат Ойстейну Оре («Cardano: The Gambling Scholar», 1953).
Пространство элементарных исходов
Главная заслуга Кардано в том, что он последовательно проводит принцип: считать надо все способы, которыми кости могут лечь, даже если игроку они кажутся одинаковыми. Свою полную совокупность исходов он называет circuitus — «круг».
- Для одной кости: $6$ исходов.
- Для двух: $6^2 = 36$.
- Для трёх: $6^3 = 216$.
Игроки часто считали, что набор $\{1,2\}$ на двух костях — это один исход. Кардано настаивает: $(1,2)$ и $(2,1)$ — разные способы, и потому сумма $3$ выпадает вдвое чаще суммы $2$:
$$P(s=3) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}, \qquad P(s=2) = \frac{1}{36}.$$
«Шансы» и классическое определение
Кардано мыслит в терминах шансов (odds) — отношения числа благоприятных исходов к числу неблагоприятных. Если $a$ — число способов выиграть, $b$ — проиграть, то шансы записываются как $a : b$, а вероятность
$$P = \frac{a}{a+b}.$$
Формулу в таком виде он не пишет — символической алгебры для этого ещё нет, — но именно ей соответствуют его рассуждения. Переход от «мне сегодня везёт» к точной дроби и есть содержание революции; окончательно классическое определение сформулирует ЛапласПьер-Симон ЛапласСвёл небесную механику в пять томов, а теорию вероятностей — в один, и на полтора столетия задал образ мира, в котором будущее вычисляется из настоящего. через два с половиной века.
Полезно помнить перевод в обе стороны: шансы $a:b$ ↔ вероятность $p = a/(a+b)$; обратно $a:b = p : (1-p)$. Ставка «пять к одному» означает $p = 1/6$.
Правило умножения
Кардано ставит вопрос: если шанс «единицы» на одной кости равен $\tfrac16$, каков шанс, что она выпадет дважды подряд? Он приходит к перемножению вероятностей независимых событий:
$$P = \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{36}, \qquad \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{216}.$$
Общая форма, к которой он в итоге пробивается: если вероятность успеха в одном испытании равна $p$, то вероятность $n$ успехов подряд равна $p^n$.
Ошибка, которая ценнее иного успеха
Самый поучительный сюжет книги — как Кардано ошибается и сам себя ловит.
В главе 9 он рассуждает так: половина граней кости — это «равенство» (шансы 50:50), значит, чтобы получить заданное очко, скажем шестёрку, с шансами 50:50, нужно три броска. Логика: за один бросок «набирается» $\tfrac16$ шестёрки, за три — $3 \cdot \tfrac16 = \tfrac12$.
Это неверно, и вот почему. Вероятность, что шестёрка не выпадет ни разу за $n$ бросков, равна $(5/6)^n$. Значит,
$$P(\text{хотя бы одна шестёрка за } n \text{ бросков}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^{n}.$$
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| $1-(5/6)^n$ | $0{,}1667$ | $0{,}3056$ | $0{,}4213$ | $\mathbf{0{,}5177}$ | $0{,}5981$ |
Порог $1/2$ пересекается между третьим и четвёртым броском:
$$1 - \left(\tfrac56\right)^n \geqslant \tfrac12 \iff n \geqslant \frac{\ln(1/2)}{\ln(5/6)} \approx 3{,}80 \;\Rightarrow\; n = 4 .$$
Кардано ошибся на единицу. Но самое интересное — в главе 15 он возвращается к вопросу и опровергает сам себя качественно, без вычислений: если бы сложение шансов работало, то, играя двумя костями, можно было бы с равными шансами выбрасывать чётное и в первом, и во втором броске — а это, пишет он, совершенно нелепо. Правильного числа он так и не получил, но понял, что вероятности не складываются. Названия глав вроде «Об ошибке, которую я здесь допустил» — редкий по честности жанр.
Ту же ошибку, кстати, независимо совершит целое поколение игроков; ровно на ней через сто лет споткнётся шевалье де Мере и придёт с вопросом к Паскалю (см. точку о Паскале и Ферма).
Справедливая игра и зародыш математического ожидания
Кардано вводит принцип равных условий (он прямо ссылается на аристотелевское понятие справедливости): игра честна, если ставки пропорциональны шансам. Если у игрока $A$ шансов вдвое больше, чем у $B$, то и ставить $A$ должен вдвое больше.
Формализуем. Пусть $A$ выигрывает с вероятностью $p$, ставки равны $S_A$ и $S_B$, победитель забирает весь банк. Ожидаемый выигрыш $A$:
$$E[\text{выигрыш } A] = p \cdot S_B - (1-p)\cdot S_A .$$
Игра справедлива, когда это равно нулю, то есть
$$\frac{S_A}{S_B} = \frac{p}{1-p} = \frac{a}{b}.$$
Ставки относятся как шансы. Это ещё не математическое ожидание (его через сто лет введёт ГюйгенсХристиан ГюйгенсНаписал первый печатный учебник теории вероятностей, изобрёл маятниковые часы, открыл кольца Сатурна и объяснил свет волнами.), но уже его скелет: величина, приравняв которую к нулю, получаем «честность».
Итог
Кардано превратил азартную игру из территории удачи в территорию арифметики: случайность подчиняется законам, которые можно выписать. Его работа предвосхитила Паскаля и Ферма почти на столетие — и не сыграла роли ровно потому, что пролежала в столе. Хороший урок для истории науки: открытие становится открытием только тогда, когда его прочли.
Задача. Обобщите ошибку Кардано. Пусть вероятность успеха в испытании равна $p$, а нужно, чтобы вероятность хотя бы одного успеха достигла $1/2$. Покажите, что требуемое число испытаний $n \approx \dfrac{\ln 2}{p}$ при малых $p$, то есть примерно $0{,}693/p$, а не $0{,}5/p$, как подсказывает «сложение шансов». Для $p = 1/6$: $0{,}693 \cdot 6 = 4{,}16$ — снова четыре.