Галилей: почему десять чаще девяти

Обстоятельства

Короткая заметка «Sopra le scoperte dei dadi» («О выходе очков при игре в кости») написана Галилеем, вероятно, между 1613 и 1623 годами — точная дата неизвестна, текст опубликован только в собрании сочинений 1718 года. Написана она была по прямому запросу: покровитель Галилея, великий герцог Тосканский Козимо II, интересовался практическим вопросом придворных игроков.

Вопрос был такой. В игре, где бросают три кости и ставят на сумму очков, опытные игроки утверждали: сумма 10 приносит выигрыш чаще, чем 9. Между тем разложить в сумму трёх слагаемых от 1 до 6 и девятку, и десятку можно ровно шестью способами. Откуда разница?

Это тот же самый капкан, что стоит в основании De Vetula и Кардано: смешение набора очков с исходом броска.

Разбор

Кости различимы — мысленно покрасим их. Всего исходов $6^3=216$, и все они равновозможны.

Сумма 9:

Набор	Число упорядочений	Почему
$(1,2,6)$	$3!=6$	все различны
$(1,3,5)$	$6$	все различны
$(1,4,4)$	$3!/2!=3$	две одинаковые
$(2,2,5)$	$3$	две одинаковые
$(2,3,4)$	$6$	все различны
$(3,3,3)$	$1$	все одинаковые
Итого	25

Сумма 10:

Набор	Число упорядочений
$(1,3,6)$	$6$
$(1,4,5)$	$6$
$(2,2,6)$	$3$
$(2,3,5)$	$6$
$(2,4,4)$	$3$
$(3,3,4)$	$3$
Итого	27

$$P(9) = \frac{25}{216} \approx 0{,}1157, \qquad P(10) = \frac{27}{216} = \frac{1}{8} = 0{,}125.$$

Разница: $\dfrac{2}{216} \approx 0{,}0093$, то есть меньше процентного пункта. Отношение $27/25 = 1{,}08$ — десятка выпадает на 8% чаще.

Почему это важнее, чем кажется

Во-первых, о наблюдательности игроков. Чтобы заметить перевес в 8%, нужны тысячи бросков. Оценим: при $n$ бросках разность числа выпадений девятки и десятки имеет порядок $n\cdot0{,}0093$, а случайное колебание — порядка $\sqrt{np}$. Различие становится надёжным, когда

$$n\cdot 0{,}0093 \gtrsim 3\sqrt{n\cdot 0{,}12} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{n}\gtrsim \frac{3\cdot0{,}346}{0{,}0093} \approx 112, \quad n \gtrsim 12\,500.$$

Порядка десяти тысяч бросков. Придворные Козимо II действительно столько наиграли — и опыт оказался вернее наивной арифметики. Это первый в истории задокументированный случай, когда статистика игроков победила математику теоретиков и заставила теорию исправиться.

Во-вторых, о методе. Галилей формулирует правило явно: исходы надо перечислять с учётом того, какая кость какое число показала, даже если внешне это неразличимо. Он приводит полную таблицу всех 216 исходов по суммам — ту самую, что была в «De Vetula».

Полное распределение

Для полноты — числа исходов для всех сумм трёх костей:

$s$	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
$N(s)$	1	3	6	10	15	21	25	27	27	25	21	15	10	6	3	1

Симметрия относительно $10{,}5$ следует из биекции $a\mapsto 7-a$ на каждой кости, переводящей сумму $s$ в $21-s$.

Место в нашем рассказе

Галилей — недостающее звено между Средневековьем и ПаскалемБлез Паскальфранцузский математик, физик и религиозный философ · 1623–1662Собрал в шестнадцать лет теорему о шестиугольнике, в девятнадцать — счётную машину, в тридцать один — теорию вероятностей, а потом бросил математику ради Бога.. «De Vetula» (ок. 1250) содержала правильный подсчёт, но пролежала без последствий. КарданоДжероламо Карданоитальянский врач, математик и астролог · 1501–1576Напечатал чужое решение кубического уравнения и получил за это славу и вечные упрёки; первым в истории посчитал шансы в игре — и эту книгу не напечатал вовсе. (ок. 1564) понял всё, но не был напечатан до 1663-го. Галилей — первый, чей разбор был и верным, и доступным, хотя и он вышел с вековым опозданием.

Задача. Найдите все пары сумм трёх костей, у которых число наборов одинаково, а число исходов различается. Затем: существует ли пара сумм с одинаковым числом исходов, но разным числом наборов?