Белл: неравенство, которое можно проверить

Спор о том, стоят ли за квантовой случайностью скрытые причины, начался в конце 1920-х и почти сорок лет считался философским: обе стороны предсказывали одно и то же, а расходились в том, как это понимать. В 1964 году сотрудник ЦЕРНа показал, что расходятся они ещё и в числе, которое можно измерить.

О чём спорили

ЭйнштейнАльберт Эйнштейннемецкий физик-теоретик · 1879–1955Единственный физик в этом справочнике по праву математика: чтобы записать тяготение, ему понадобилась геометрия Римана — и он потратил на её освоение семь лет. не утверждал, что квантовая механика ошибается. Он утверждал, что она неполна: за вероятностями стоят какие-то неизвестные параметры, и, узнав их, мы получили бы обычную определённую картину. Знаменитое «Он не играет в кости» (из письма Максу Борну, 1926) — именно об этом.

В 1935 году вместе с Подольским и Розеном он строит мысленный опыт. Две частицы разлетаются из общего источника; измерение над одной мгновенно определяет свойство другой, как бы далеко она ни улетела. Либо между ними есть мгновенная связь через любое расстояние, либо результат был предопределён заранее — и тогда квантовая механика чего-то не досказывает.

Выпишем требования Эйнштейна честно, их два:

1. Реализм. У каждого возможного измерения есть заранее определённый результат, записанный в каком-то параметре $\lambda$.
2. Локальность. То, что делают с одной частицей, не влияет мгновенно на другую.

Доказательство, которого не было

Считалось, что вопрос уже закрыт. В 1932 году фон НейманДжон фон Нейманвенгеро-американский математик · 1903–1957Аксиоматизировал квантовую механику, основал теорию игр, придумал архитектуру компьютера и метод Монте-Карло — и всё это, по мнению современников, не напрягаясь. — в той самой книге, где квантовая механика получила своё гильбертово пространство, — доказал теорему: скрытых параметров быть не может. Тридцать лет на неё ссылались как на окончательную.

В 1935 году философ и математик Грете Герман указала, что доказательство содержит лишнее допущение: фон Нейман требует, чтобы среднее суммы величин равнялось сумме средних и для тех величин, которые нельзя измерить одновременно. Для скрытых параметров требовать этого не с чего. Её работу не заметили. Ту же дыру заново нашёл Белл в 1964 году, и с этого началась его работа: сначала он убрал ложный запрет, а потом поставил вопрос правильно — не «возможны ли скрытые параметры вообще», а «возможны ли локальные».

Неравенство

Опыт устроен так. Пара частиц разлетается. Слева экспериментатор выбирает один из двух приборов, $a$ или $a'$; справа — $b$ или $b'$. Каждый прибор выдаёт одно из двух значений, $+1$ или $-1$. Опыт повторяют много раз и считают четыре средних произведения — корреляции $E(a,b)$, $E(a,b')$, $E(a',b)$, $E(a',b')$.

Соберём из них комбинацию

$$S \;=\; E(a,b) - E(a,b') + E(a',b) + E(a',b') .$$

Утверждение (Белл; в этой форме — Клаузер, Хорн, Шимони и Хольт): если верны реализм и локальность, то $|S| \leqslant 2$.

Доказательство — три строки, и в них нет ничего, кроме знаков ±1

Пусть скрытый параметр $\lambda$ задан. Тогда результаты всех четырёх возможных измерений определены: $A$, $A'$, $B$, $B'$, и каждое равно $+1$ или $-1$. Составим ту же комбинацию для одного $\lambda$ и сгруппируем:

$$AB - AB' + A'B + A'B' \;=\; A\,(B - B') \;+\; A'\,(B + B') .$$

Числа $B$ и $B'$ равны $\pm 1$. Если они равны между собой, первая скобка равна нулю, а вторая равна $\pm 2$; если они различны — наоборот. В обоих случаях вся сумма равна $+2$ или $-2$ — при любом $\lambda$.

Величина $S$ есть среднее по $\lambda$ от выражения, которое всегда равно $\pm 2$. Среднее не выходит за границы того, что усредняют, значит $|S| \leqslant 2$.

Обратите внимание, что здесь использовано: результаты существуют все четыре сразу, хотя измеряются только два (это реализм), и значение $B$ не зависит от того, что выбрали слева (это локальность). Больше ничего — ни одной формулы квантовой механики.

Что обещает квантовая механика

Для пары частиц в согласованном состоянии корреляция зависит только от угла между приборами:

$$E(\alpha, \beta) \;=\; -\cos(\alpha - \beta).$$

Возьмём углы $\alpha = 0^\circ$, $\alpha' = 90^\circ$, $\beta = 45^\circ$, $\beta' = 135^\circ$. Три пары приборов отличаются на $45^\circ$, четвёртая — на $135^\circ$, и минус перед вторым слагаемым разворачивает её так, что все четыре вклада складываются:

$$S \;=\; -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \;=\; -2\sqrt{2}, \qquad |S| = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83 .$$

Двойка против $2\sqrt{2}$. Разница не в философии, а в третьем знаке после запятой, и её можно измерить.

Как это проверяли

• 1972, Беркли. Стюарт Фридман и Джон Клаузер ставят первый опыт. Ответ выходит квантовый, но лазеек в постановке хватает.
• 1981–1982, Орсэ. Ален Аспе с сотрудниками переключают ориентацию приборов, пока частицы уже в полёте, — так, чтобы выбор на одной стороне не успел дойти до другой даже со скоростью света. Получено $S \approx 2{,}70$ при пределе 2.
• Лазейки. Их две главные. Лазейка выборки: детекторы ловят не все частицы, и если ловят избирательно, неравенство можно нарушить безо всякой квантовой механики. Лазейка локальности: если выбор прибора успевает сообщиться другой стороне, доказательство рушится.
• 2015. Три группы — в Делфте, в Вене и в Боулдере — закрывают обе лазейки в одном опыте.
• 2018. Проверяют и то, откуда берутся сами настройки приборов: в одном опыте их задавал свет квазаров, вышедший миллиарды лет назад, в другом — сто тысяч человек, нажимавших кнопки в сетевой игре.
• 2022. Нобелевская премия по физике — Аспе, Клаузеру и Цайлингеру.

Что именно закрыто

Закрыт локальный реализм — оба требования разом. Дальше начинается развилка, и назвать её честно обязательно, иначе получится неправда. Спасти детерминизм можно, но за плату:

• отказаться от локальности — так устроена механика Бома, где всё определено, но частицы связаны мгновенно через любое расстояние;
• отказаться от единственности исхода — многомировая интерпретация, где случаются все результаты, а «случайность» есть вопрос о том, в какой из копий мира находится наблюдатель;
• отказаться от независимости выбора настроек — так называемый супердетерминизм, где сохраняются и локальность, и реализм, но ценой предположения, что состояние мира заранее согласовано с тем, какую кнопку нажмёт экспериментатор.

Демон ЛапласаПьер-Симон Лапласфранцузский математик, астроном и физик · 1749–1827Свёл небесную механику в пять томов, а теорию вероятностей — в один, и на полтора столетия задал образ мира, в котором будущее вычисляется из настоящего. — тот, что знает положения и скорости всех частиц и считает будущее по законам, действующим в каждой точке, — не выживает ни в одном из трёх вариантов. Чтобы его сохранить, ему придётся дать либо мгновенную связь через всю Вселенную, либо все миры сразу, либо власть над решениями экспериментатора. Ни одно из трёх на того демона, которого имел в виду Лаплас, уже не похоже.

Практический хвост: случайность, которую можно доказать

Тут сходятся обе половины сюжета. Проверить алгоритмом, что данная последовательность случайна, нельзя. «Случайность» компьютерных генераторов держится на недоказанных предположениях о трудности задач. А нарушение неравенства Белла даёт единственный известный способ получить биты, случайность которых удостоверяется не доверием к прибору, а измеренным числом: если $S$ вышло больше двух, эти биты не могли быть заготовлены заранее, и сколько в них случайности, считается по величине превышения. В 2018 году в Боулдере так выработали первые сертифицированные случайные биты.

Двести лет назад из невозможности предсказать делали вывод о нашем невежестве. Теперь невозможность предсказать сама стала измеряемой величиной и товаром.

О человеке

Джон Стюарт Белл (1928–1990) вырос в Белфасте, в семье, где до него никто не учился в школе дольше четырнадцати лет. Сам он ушёл из школы в шестнадцать и работал лаборантом на кафедре физики Университета Куинс, пока тамошние преподаватели не помогли ему поступить туда же студентом. Основная его работа — ускорители и физика элементарных частиц в ЦЕРНе; основаниями квантовой механики он занимался, по собственным словам, в свободное время и долго не считал это занятие серьёзным. Умер от кровоизлияния в мозг в 1990 году — до того, как опыты по его неравенству стали рутиной, и за тридцать два года до Нобелевской премии, которую за них присудили.