Лоренц: три уравнения, которые нельзя досчитать

Пуанкаре сказал это словами и признался, что рисовать не берётся. Через семьдесят три года метеоролог с машиной на пятьдесят операций в секунду нарисовал.

Как это вышло по неосторожности

Зима 1961 года, Массачусетский технологический институт. У Эдварда Лоренца стоит Royal McBee LGP-30 — ламповая машина размером со шкаф. Он гоняет на ней игрушечную модель погоды из двенадцати уравнений и хочет пересмотреть кусок расчёта подробнее.

Чтобы не начинать сначала, он вводит числа из середины прежней распечатки и запускает заново. Уходит за кофе. Возвращается через час — погода совершенно другая.

Причина обнаружилась не сразу: в памяти машина держала шесть знаков, а на печать выводила три. Вместо 0,506127 было введено 0,506. Разница в одну тысячную за пару модельных месяцев выросла до полного расхождения.

Первой мыслью было, что перегорела лампа.

Три уравнения

Двенадцать уравнений Лоренц ужал до трёх, взяв огрублённую задачу о конвекции в слое жидкости, подогреваемом снизу:

$$\dot x = \sigma\,(y - x), \qquad \dot y = x\,(r - z) - y, \qquad \dot z = xy - bz ,$$

при $\sigma = 10$, $b = 8/3$, $r = 28$. Здесь $x$ — интенсивность конвекции, $y$ — разность температур между поднимающимися и опускающимися потоками, $z$ — отклонение вертикального профиля температуры от линейного.

Смотреть надо не на физику, а на правую часть. В ней нет ни одного случайного слагаемого. Три обыкновенных дифференциальных уравнения, коэффициенты заданы точно; по начальной точке будущее определено однозначно и навсегда. Демон ЛапласаПьер-Симон Лапласфранцузский математик, астроном и физик · 1749–1827Свёл небесную механику в пять томов, а теорию вероятностей — в один, и на полтора столетия задал образ мира, в котором будущее вычисляется из настоящего. тут полновластен — и бессилен.

Что делает эта система

Посчитаем, как меняется объём в фазовом пространстве. Дивергенция правой части:

$$\frac{\partial}{\partial x}\big[\sigma(y-x)\big] + \frac{\partial}{\partial y}\big[x(r-z)-y\big] + \frac{\partial}{\partial z}\big[xy-bz\big] = -\sigma - 1 - b = -10 - 1 - \frac{8}{3} = -\frac{41}{3}.$$

Число отрицательное и постоянное: всякая капля объёма $V_0$ сжимается как $V_0 e^{-41t/3}$, то есть за единицу времени — почти в миллион раз. Значит, всё уходит на множество нулевого объёма.

Но никуда не сходится. Ни к точке равновесия, ни к замкнутому циклу: траектория вечно наматывается на два «крыла», перескакивая с одного на другое, и ни разу не повторяет себя. Множество, на которое всё садится, имеет нулевой объём и бесконечно сложное устройство; Рюэль и Такенс в 1971 году назовут такие множества странными аттракторами.

При этом соседние траектории на нём расходятся, и скорость расхождения известна: показатель $\lambda$ здесь около $0{,}9$, так что ошибка удваивается примерно за $\ln 2 / \lambda \approx 0{,}75$ единицы времени. На чертеже ниже эта величина посчитана прямо по расчёту.

Прогноз погоды: почему две недели

Отсюда прямо считается то, ради чего всё затевалось. Ошибка растёт как $e^{\lambda t}$, значит время, на которое можно предсказывать, растёт как логарифм точности — ровно та же оценка, что у Пуанкаре. Улучшив измерения вдвое, вы покупаете одно время удвоения, а не вдвое больший прогноз.

Для настоящей атмосферы Лоренц оценил предел примерно в две недели. За полвека вычислительная мощность выросла на много порядков, сеть наблюдений — тоже, а предел сдвинулся всего на несколько дней, как и обещает логарифм. Дальше двух недель прогноза не будет никогда — не из-за плохих машин, а по устройству уравнений.

Крыло бабочки

Знаменитого выражения в статье 1963 года нет: там речь о чайке, и подсказал её образ коллега. Бабочка появилась в 1972 году, в названии доклада: «Предсказуемость: может ли взмах крыла бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?» Название придумал не Лоренц, а организатор заседания, когда докладчик вовремя не прислал своего.

Смысл вопроса, кстати, обычно перевирают. Лоренц не утверждал, что бабочка вызывает торнадо. Он утверждал, что нельзя отличить мир, где торнадо был вызван бабочкой, от мира, где бабочка ни при чём: разница в начальных данных меньше любой возможной точности измерения, а последствия несоизмеримы.

Что было дальше

Статья «Deterministic Nonperiodic Flow» вышла в метеорологическом журнале и почти десять лет оставалась непрочитанной математиками. Её нашли в 1970-х, когда своим ходом пришли к тем же картинкам из динамических систем.

Замечательный хвост: то, что аттрактор Лоренца действительно устроен так, как видно на экране, долго оставалось наблюдением, а не теоремой. Строгое доказательство дал Уорик Такер только в 2002 году — и оно машинное, с точной оценкой ошибок арифметики. Это была четырнадцатая проблема из списка СмейлаСтивен Смейламериканский математик · род. 1930Доказал гипотезу Пуанкаре сразу для всех размерностей от пяти и выше — тех, что считались самыми трудными; выяснилось, что чем больше места, тем проще.. Картинка, полученная на машине в 1963 году, стала теоремой, доказанной на машине через сорок лет.

О человеке

Эдвард Лоренц (1917–2008) выучился на математика в Гарварде, а метеорологом стал по военной необходимости: во Вторую мировую служил синоптиком в армейской авиации и после войны в математику уже не вернулся. Всю жизнь проработал в Массачусетском технологическом. Человек он был крайне сдержанный, любил горные походы и лыжи; статью, положившую начало целой области, написал, никого не оповестив, и о том, что она знаменита, узнал сильно позже. Нобелевской премии по физике метеорологам не дают, но в 1991 году он получил Киотскую.