Карта → событие
Карлесон: последний ответ на вопрос 1807 года
Вопрос
Точка о РиссеФридьеш РиссПостроил пространства функций, в которых предел ведёт себя как в обычном пространстве, и первым описал линейные функционалы через интеграл. и ФишереРональд ФишерПридумал почти всё, чем статистика пользуется сегодня, — дисперсионный анализ, рандомизацию, максимум правдоподобия, p-значение, — работая на сельскохозяйственной опытной станции. закрыла сходимость в среднем. Оставалась сходимость поточечная: верно ли, что для $f\in L^{2}$
$$S_{N}f(x) = \sum_{|n|\leqslant N}c_{n}e^{inx} \xrightarrow[N\to\infty]{} f(x)$$
для почти всех $x$?
Гипотеза Лузина (1915). Николай ЛузинНиколай Николаевич ЛузинСоздал московскую математическую школу — «Лузитанию», из которой вышло целое поколение, и стал жертвой первого в СССР публичного разгрома учёного. высказал её в диссертации «Интеграл и тригонометрический ряд».
Почему все думали, что она неверна
К 1960-м годам накопились свидетельства не в пользу гипотезы.
1. Дюбуа-Реймон (1876): существует непрерывная функция, ряд Фурье которой расходится в точке. Непрерывность — условие куда более сильное, чем $L^{2}$, и она не спасает.
2. КолмогоровАндрей Николаевич КолмогоровДал вероятности аксиомы, турбулентности — закон, сложности — определение, а школьной математике в СССР — программу, по которой учились миллионы. (1923, ему 19 лет): существует функция из $L^{1}$, ряд Фурье которой расходится почти всюду. В 1926 году он усилил до расходимости всюду (см. точку о Колмогорове).
Это выглядело решающим. Разница между $L^{1}$ и $L^{2}$ казалась технической, а результат Колмогорова — указывающим направление: чем шире класс функций, тем хуже сходимость, и $L^{2}$ должно быть немногим лучше.
3. Банах и Штейнгауз (1927): принцип равномерной ограниченности объяснял, почему возникают расходящиеся ряды — нормы операторов $S_N$ на $C[-\pi,\pi]$ растут как $\ln N$ (константы Лебега). Механизм расходимости был понятен и выглядел неустранимым.
По воспоминаниям, Карлесон и сам несколько лет пытался построить контрпример и убедился, что построение не выходит, — а из анализа причин неудачи выросло доказательство.
Теорема
Теорема Карлесона (1966). Для любой $f\in L^{2}[-\pi,\pi]$ ряд Фурье сходится к $f$ почти всюду.
Опубликовано: «On convergence and growth of partial sums of Fourier series», Acta Mathematica 116 (1966), 135–157. Анонсировано на Международном конгрессе математиков в Москве летом того же года.
Ричард Хант (1968) обобщил на $L^{p}$ при $p>1$. Вместе — теорема Карлесона — Ханта.
Граница резкая: при $p=1$ утверждение ложно по Колмогорову. Точное положение порога в шкале пространств Орлича — предмет исследований до сих пор (класс $L\log L\log\log\log L$ Антонова и родственные).
О чём доказательство
Доказательство считается одним из труднейших в анализе XX века. Суть — оценка максимального оператора Карлесона:
$$\mathcal{C}f(x) = \sup_{N}\left|S_{N}f(x)\right|.$$
Стандартная схема: если максимальный оператор ограничен в подходящем смысле (слабый тип $(2,2)$), то сходимость почти всюду следует автоматически на плотном подмножестве, а дальше распространяется. Вся трудность в оценке $\mathcal{C}$.
Проблема в том, что $\mathcal{C}$ включает супремум по всем частотам $N$, и стандартные приёмы гармонического анализа (разложения Кальдерона — Зигмунда) не работают напрямую: оператор не коммутирует с модуляциями обычным образом. Карлесон построил сложную процедуру разложения плоскости «время — частота» на области и рекурсивного отбора «плохих» участков.
Через тридцать четыре года Лейси и Тиле (2000) дали заметно более прозрачное доказательство на языке фазового пространства: плоскость «время — частота» разбивается на прямоугольники площади 1 («плитки Гейзенберга» — меньше нельзя по принципу неопределённости), и оценка ведётся суммированием по деревьям плиток. Их метод дал заодно решение других задач (гипотеза Кальдерона о билинейном преобразовании ГильбертаДавид ГильбертЧеловек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти., за что Лейси и Тиле получили премию Салема).
Доказательство и сегодня остаётся предметом отдельных спецкурсов, а не главы учебника.
Что стоит сказать школьнику
Полное доказательство недоступно, но содержание формулируется просто и стоит того.
Возьмём произвольную функцию с конечной энергией — скажем, любой реальный звуковой сигнал. Разложим её в сумму синусоид. Будем брать всё больше гармоник. Вопрос: приблизимся ли мы к исходному сигналу в каждый момент времени?
Ответ: да, за исключением множества моментов суммарной длительности нуль.
Оговорка «почти всюду» существенна и неустранима: Кахан и Кацнельсон (1966, тот же год) доказали, что для любого наперёд заданного множества меры нуль найдётся непрерывная функция, ряд Фурье которой расходится ровно на нём. То есть исключительное множество может быть любым множеством меры нуль — но не больше.
Замыкание нити
| Год | Событие |
|---|---|
| 1807 | ФурьеЖозеф ФурьеУтверждал, что любую функцию можно сложить из синусов, — и был не прав ровно настолько, чтобы математике понадобилось сто лет и три новые теории, чтобы разобраться.: любая функция раскладывается в тригонометрический ряд |
| 1829 | ДирихлеПетер Густав Лежён ДирихлеДал первое строгое условие сходимости ряда Фурье, нынешнее определение функции и способ доказывать теоремы теории чисел средствами анализа.: верно при кусочной монотонности |
| 1854 | РиманБернхард РиманПрожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики.: чтобы считать коэффициенты, нужен новый интеграл |
| 1872 | КанторГеорг КанторПоказал, что бесконечности бывают разного размера, — и потратил остаток жизни на защиту этого результата от коллег и на попытки доказать одно-единственное утверждение, которое доказать нельзя.: множества точек расходимости → теория множеств |
| 1876 | Дюбуа-Реймон: непрерывная функция с расходящимся рядом |
| 1902 | ЛебегАнри ЛебегПредложил считать интеграл, разрезая не ось абсцисс, а ось значений, — и получил теорию, в которой предел и интеграл наконец можно менять местами.: мера и новый интеграл |
| 1907 | Рисс и Фишер: в $L^{2}$ сходимость в среднем — всегда |
| 1915 | Лузин формулирует гипотезу о сходимости почти всюду |
| 1923 | Колмогоров: в $L^{1}$ бывает расходимость почти всюду |
| 1927 | БанахСтефан БанахДал функциональному анализу аксиомы и имя, а математике — образ школы, работающей в кафе за столиком с мраморной столешницей. и Штейнгауз: механизм расходимости |
| 1966 | Карлесон: в $L^{2}$ сходимость почти всюду |
| 1968 | Хант: то же для $L^{p}$, $p>1$ |
Сто пятьдесят девять лет. По дороге родились: теория множеств, теория меры, функциональный анализ и — через колмогоровскую аксиоматику 1933 года — современная теория вероятностей.
Именно поэтому эта точка должна закрывать линию тематически, даже если хронологически после неё стоят другие. Она отвечает на вопрос, с которого началась самая длинная причинно-следственная цепочка на карте.
Человек
Леннарт Карлесон (род. 1928) — профессор Уппсальского университета с 1954 года, директор Института Миттаг-Леффлера в Юршхольме под Стокгольмом (1968–1984), президент Международного математического союза (1978–82).
Помимо теоремы о сходимости: теорема о короне (1962, ещё одна знаменитая задача), работы по потенциалу, мера Карлесона, теория итераций комплексных отображений (совместно с Бенедиксом — строгая теория аттрактора Хенона).
Премия Вольфа (1992), Абелевская премия (2006) — с формулировкой о вкладе в гармонический анализ и теорию гладких динамических систем.
Как директор Института Миттаг-Леффлера он превратил приходившее в упадок учреждение в один из мировых центров математики; как президент ММС добился включения в математическое сообщество Китая.