Карта → событие
Мандельброт: монстры становятся геометрией
Слово
Бенуа Мандельброт (1924–2010), сотрудник исследовательского центра IBM имени Уотсона в Йорктаун-Хайтсе, вводит термин в книге:
«Les objets fractals: forme, hasard et dimension» (Париж, 1975).
Расширенные версии — «Fractals: Form, Chance and Dimension» (1977) и «The Fractal Geometry of Nature» (1982).
От латинского fractus — «дроблёный, изломанный». Мандельброт подчёркивал родство с английским fracture и с идеей дробной размерности.
Статья, с которой всё началось
«How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension», Science 156 (1967).
Мандельброт отталкивается от наблюдения Льюиса Фрая Ричардсона: разные справочники дают разную длину одной и той же границы (расхождения до 20%), и причина в том, что длина зависит от масштаба измерения.
Измеряем береговую линию циркулем с раствором $\varepsilon$. Число шагов $N(\varepsilon)$ растёт при уменьшении $\varepsilon$, и длина $L(\varepsilon)=N\varepsilon$ тоже растёт, а не стабилизируется. Эмпирически
$$L(\varepsilon)\sim C\,\varepsilon^{1-D},$$
где $D>1$. Для побережья Британии $D\approx1{,}25$, для Норвегии с её фьордами $D\approx1{,}52$, для гладкого побережья Южной Африки $D\approx1{,}05$.
У береговой линии нет длины. Есть размерность.
Размерность
Размерность подобия. Если объект состоит из $N$ копий себя, уменьшенных в $r$ раз, то
$$D = \frac{\ln N}{\ln r}.$$
Проверим на привычном: отрезок делится на 2 копии вдвое меньшего размера, $D=\ln2/\ln2=1$. Квадрат — на 4 копии вдвое меньшего, $D=\ln4/\ln2=2$. Куб — на 8, $D=3$. $\checkmark$
Теперь на монстрах:
| Объект | $N$ | $r$ | $D$ |
|---|---|---|---|
| Множество Кантора | 2 | 3 | $\ln2/\ln3\approx0{,}631$ |
| Снежинка Коха | 4 | 3 | $\ln4/\ln3\approx1{,}262$ |
| Треугольник Серпинского | 3 | 2 | $\ln3/\ln2\approx1{,}585$ |
| Ковёр Серпинского | 8 | 3 | $\ln8/\ln3\approx1{,}893$ |
| Кривая Пеано | 4 | 2 | $\ln4/\ln2=2$ |
| Функция Вейерштрасса | — | — | $2+\dfrac{\ln a}{\ln b}\in(1,2)$ |
Размерность дробна. Множество Кантора «больше точки, но меньше линии»; снежинка Коха «больше линии, но меньше плоскости»; кривая Пеано ровно двумерна, что подтверждает интуицию из соответствующей точки.
Строгое понятие — хаусдорфова размерность (ХаусдорфФеликс ХаусдорфДал определение топологического пространства, на котором предмет стоит до сих пор; половину жизни писал под псевдонимом эссе, стихи и пьесы, и многие знакомые не знали, что это один человек., 1918; Безикович развил теорию в 1930-е). Определяется через покрытия:
$$\mathcal{H}^{s}(E) = \lim_{\delta\to0}\inf\left\{\sum_{i}(\operatorname{diam}U_{i})^{s} : E\subseteq\bigcup U_{i},\ \operatorname{diam}U_{i}<\delta\right\},$$
и $\dim_{H}E$ — то единственное $s$, при переходе через которое $\mathcal{H}^{s}$ скачком меняется с $\infty$ на 0.
Заметьте: аппарат существовал с 1918 года. Мандельброт не изобрёл размерность — он понял, зачем она.
Переоценка монстров
Вот в чём поворот, и его стоит сформулировать прямо.
1872–1890. ВейерштрассКарл ВейерштрассПятнадцать лет учительствовал в провинциальной гимназии, а потом переписал анализ на языке $\varepsilon$ и $\delta$ — и предъявил функцию, у которой нигде нет касательной. строит непрерывную нигде не дифференцируемую функцию (Вейерштрасс). КанторГеорг КанторПоказал, что бесконечности бывают разного размера, — и потратил остаток жизни на защиту этого результата от коллег и на попытки доказать одно-единственное утверждение, которое доказать нельзя. — совершенное нигде не плотное множество (Кантор). ПеаноДжузеппе ПеаноАксиоматизировал натуральный ряд, векторное пространство и математическую запись — и построил кривую, которая проходит через каждую точку квадрата. — заполняющую кривую (Пеано). Кох (1904) — снежинку.
Реакция. ЭрмитШарль ЭрмитДоказал трансцендентность числа $e$ — и отказался браться за $\pi$, сказав, что не рискнёт; через девять лет это сделал Линдеман тем же методом.: отворачиваюсь в страхе и ужасе от этой прискорбной язвы. ПуанкареАнри ПуанкареПоследний универсал математики: создал топологию, увидел хаос там, где все видели порядок, и подошёл к теории относительности вплотную, не сделав последнего шага.: монстры, изобретаемые лишь для того, чтобы уличать предшественников. Общее мнение: полезные логические контрпримеры, к реальности отношения не имеющие.
Мандельброт, 1975. Именно так и устроена природа. Гладкие кривые и поверхности — редчайшее исключение, встречающееся почти исключительно в изделиях человека и в учебниках.
Примеры, которые он перечисляет: береговые линии, горные хребты, облака, разветвления бронхов и кровеносных сосудов, кроны деревьев, речные сети, трещины, поверхность разлома металла, распределение галактик, турбулентные вихри.
Его формула: облака не шары, горы не конусы, береговые линии не окружности, а кора дерева не гладкая.
Ирония ровно в том, что это была за история. Сто лет монстров держали в кунсткамере как доказательство того, что интуиция ненадёжна. Оказалось, что ненадёжна была не интуиция, а выборка: математика XIX века изучала гладкие объекты, потому что умела их изучать, и приняла собственное умение за свойство мира.
Множество Мандельброта
$$M = \left\{c\in\mathbb{C} : \text{последовательность } z_{0}=0,\ z_{n+1}=z_{n}^{2}+c \text{ ограничена}\right\}.$$
Определение помещается в строку. Граница множества имеет хаусдорфову размерность ровно 2 (Шишикура, 1991) при нулевой площади самого множества... точнее, площадь границы равна нулю, а размерность максимальна — сочетание, невозможное для «обычных» кривых.
Изображения, полученные Мандельбротом на компьютерах IBM в 1980 году, стали, вероятно, самой известной математической картинкой XX века. Теория, стоящая за ними, — работы Жюлиа и Фату (1918–19), пролежавшие шестьдесят лет без внимания, потому что без графики их невозможно было увидеть.
Стоит отметить и роль инструмента: фрактальная геометрия невозможна без компьютера. Мандельброт работал в IBM именно потому, что там был доступ к машинам и графическим устройствам. Это точка, где вычислительная техника меняет не скорость математики, а её предмет.
Приложения
- Компьютерная графика: генерация ландшафтов, облаков, растительности (алгоритмы Фурнье, Фюссела, Карпентера, 1982 — та самая техника, что делает пейзажи в фильмах и играх).
- Сжатие изображений фрактальными методами.
- Антенны: фрактальные конструкции многодиапазонны при малом размере; стоят в большинстве мобильных телефонов.
- Медицина: фрактальная размерность сосудистой сети и лёгочного дерева как диагностический показатель; анализ ритма сердца.
- Финансы: тяжёлые хвосты и самоподобие ценовых рядов (см. точку о Мандельброте в линии вероятностей — тот же человек, 1963 год).
- Физика: перколяция, фазовые переходы, рост кристаллов, турбулентность.
Оценки
Мандельброта критиковали и продолжают: за широковещательный стиль, за настойчивое отстаивание приоритета, за то, что «фрактал» — скорее удачное название и объединяющий взгляд, чем новая теория (аппарат Хаусдорфа и Безиковича, динамика Жюлиа и Фату, самоподобие Ричардсона существовали до него).
Возражение справедливо по букве и неверно по духу. Мандельброт сделал то, чего не сделал никто: увидел, что разрозненные патологии — один класс объектов, и что этот класс описывает реальность. Смена взгляда — тоже научный результат, и в истории математики он редок.
Место в линии
Эта точка замыкает точку о Вейерштрассе и вместе с ней образует арку длиной в столетие.
1872: построена функция, от которой Эрмит отворачивается в ужасе.
1975: выясняется, что такие функции — норма, а гладкие — исключение.
И более общий урок, годный для завершения всей линии: математический объект, созданный как контрпример, регулярно оказывается впоследствии основным примером. Так было с иррациональными числами (кризис пифагорейцев → вещественная прямая), с отрицательными и комплексными числами, с неевклидовыми геометриями (курьёз → общая теория относительности), с бесконечно малыми (изгнаны Вейерштрассом → реабилитированы Робинсоном). Монстры Вейерштрасса — очередной случай в длинном ряду.