Пеано: кривая, заполняющая квадрат

Результат

Джузеппе Пеано, «Sur une courbe qui remplit toute une aire plane», Mathematische Annalen 36 (1890).

Существует непрерывное отображение

$$\gamma:[0,1]\to[0,1]^{2},$$

сюръективное: образ — весь квадрат.

Кривая, в обыденном понимании одномерная, заполняет двумерную область.

Почему это шок

К 1890 году «кривая» понималась как объект размерности 1 — след движущейся точки, нечто тонкое. Что такой след может покрыть площадь, противоречило любой интуиции.

Хуже того: за тринадцать лет до этого Кантор (1877) показал, что отрезок и квадрат равномощны — существует биекция $[0,1]\to[0,1]^{2}$. КанторГеорг Канторнемецкий математик · 1845–1918Показал, что бесконечности бывают разного размера, — и потратил остаток жизни на защиту этого результата от коллег и на попытки доказать одно-единственное утверждение, которое доказать нельзя. писал ДедекиндуРихард Дедекинднемецкий математик · 1831–1916Определил действительное число через разрез рационального ряда и научил математику работать с бесконечными множествами как с объектами — сорок лет проработав учителем в родном Брауншвейге., что видит это, но не верит. Дедекинд утешил: биекция Кантора разрывна, и потому размерность как топологическое понятие, вероятно, сохраняется.

Пеано разрушил и это утешение: его отображение непрерывно.

Оставалась последняя линия обороны, и она устояла: непрерывной биекции между $[0,1]$ и $[0,1]^{2}$ не существует. Отображение Пеано непрерывно, но не инъективно — некоторые точки квадрата проходятся несколько раз (при этом множество точек, проходимых более трёх раз, пусто). БрауэрЛёйтзен Брауэрнидерландский математик · 1881–1966За три года выдал топологии её рабочий арсенал, а потом объявил собственные доказательства незаконными и двадцать лет воевал с Гильбертом за право математики говорить только о том, что построено. доказал в 1911 году инвариантность размерности: $\mathbb{R}^{n}$ и $\mathbb{R}^{m}$ не гомеоморфны при $n\ne m$. Понятие размерности выжило, но потребовало точного определения, которого раньше не было, — так родилась теория размерности (Брауэр, Урысон, Менгер).

Конструкция Гильберта

Пеано описал свою кривую чисто аналитически, через троичные разложения, без единого рисунка (он вообще был врагом «наглядности» в доказательствах). Годом позже ГильбертДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти. (1891) дал геометрический вариант, который стало возможно нарисовать, и именно его показывают в школе.

Идея. Разобьём квадрат на четыре четверти и зададим порядок их обхода — U-образную ломаную. Затем каждую четверть разобьём на четыре и обойдём их, соблюдая согласованность на стыках. И так далее.

На $n$-м шаге получается ломаная, проходящая через $4^{n}$ квадратиков со стороной $2^{-n}$. Последовательность ломаных равномерно сходится (расстояние между $n$-й и $(n+1)$-й не превосходит диаметра квадратика, то есть $\sqrt2\cdot2^{-n}$, а $\sum 2^{-n}<\infty$). По критерию КошиОгюстен Луи Кошифранцузский математик · 1789–1857Первым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить. в $C[0,1]$ предел существует и непрерывен (тут и работает полнота — Дедекинд и Фреше).

Длина кривой. На $n$-м шаге длина ломаной равна примерно $2^{n}$ (проходим $4^n$ квадратиков со стороной $2^{-n}$). При $n\to\infty$ длина стремится к бесконечности.

Кривая имеет бесконечную длину и положительную площадь образа. Её хаусдорфова размерность равна 2 — она заполняет плоскость и в этом точном смысле двумерна.

Сравните с трубой Гавриила (Торричелли) и с функцией Вейерштрасса: опять объект, у которого одна характеристика конечна, другая бесконечна.

Пеано вообще

Джузеппе Пеано (1858–1932), профессор Туринского университета и Военной академии, — фигура более крупная, чем принято помнить.

• Аксиомы Пеано (1889) для натуральных чисел — на самом деле восходят к Дедекинду (1888), и сам Пеано это признавал; название закрепилось за ним.
• Первое современное аксиоматическое определение векторного пространства — «Calcolo geometrico» (1888), глава IX. Полностью современный список аксиом, включая бесконечномерный случай. Опережает БанахаСтефан Банахпольский математик · 1892–1945Дал функциональному анализу аксиомы и имя, а математике — образ школы, работающей в кафе за столиком с мраморной столешницей. на тридцать четыре года и было проигнорировано практически всеми.
• Теорема Пеано о существовании решения ОДУ: непрерывности правой части достаточно для существования (без липшицевости, которая нужна для единственности).
• Символика математической логики: знаки $\in$, $\subset$, $\cup$, $\cap$, кванторы, обозначение $\exists$ — введены им. «Formulario mathematico» (1895–1908) — попытка записать всю математику формально, предшественница «Principia Mathematica» Уайтхеда и РасселаБертран Расселанглийский логик, философ и общественный деятель · 1872–1970Тремя строчками разрушил дело чужой жизни, десять лет чинил сломанное, а потом ушёл из математики в философию и политику — и получил Нобелевскую премию по литературе..
• Latino sine flexione — искусственный язык на основе упрощённой латыни, который Пеано создал и на котором издавал последние выпуски «Formulario».
• Контрпримеры: помимо кривой, он известен опровержением ошибочных «доказательств» в учебниках — в том числе у ЖорданаКамиль Жорданфранцузский математик, инженер путей сообщения · 1838–1922Написал книгу, после которой теорию Галуа стало возможно выучить, и доказал утверждение о том, что замкнутая кривая делит плоскость, — оказавшееся неожиданно трудным., чей «Cours d'analyse» он публично разобрал.

Значение

Кривая Пеано вместе с функцией Вейерштрасса образуют пару, которая определила отношение математики XX века к интуиции.

До: геометрическая наглядность — источник истины; то, что нельзя нарисовать, подозрительно.

После: наглядность — источник гипотез, не более. Проверять надо определениями.

ПуанкареАнри Пуанкарефранцузский математик, физик и философ науки · 1854–1912Последний универсал математики: создал топологию, увидел хаос там, где все видели порядок, и подошёл к теории относительности вплотную, не сделав последнего шага. называл такие объекты монстрами и сожалел, что их изобретают. Но именно они заставили точно определить, что такое размерность, кривая, длина, площадь — и породили топологию, теорию меры и, через шестьдесят лет, фрактальную геометрию (см. последнюю точку файла).

Практическое применение, которого никто не ждал: кривые Гильберта используются для линеаризации многомерных данных — в базах данных, компьютерной графике, обработке изображений. Свойство «близкие точки на отрезке переходят в близкие точки квадрата» делает их хорошим способом занумеровать двумерную область одним индексом с сохранением локальности.