Гейне и Борель: рождение компактности

Что происходит на отрезке и не происходит на интервале

Начнём с наблюдения, которое мотивирует всё остальное.

На отрезке $[0,1]$: непрерывная функция ограничена, достигает максимума, равномерно непрерывна.

На интервале $(0,1)$: ничего из этого. Функция $f(x)=1/x$ непрерывна, но не ограничена; $f(x)=x$ не достигает ни максимума, ни минимума; $f(x)=\sin(1/x)$ непрерывна, но не равномерно.

Что именно отличает $[0,1]$ от $(0,1)$? «Концы включены» — ответ формальный. Содержательный ответ и есть компактность.

Формулировка

Покрытие. Семейство открытых множеств $\{U_{\alpha}\}$ покрывает $K$, если $K\subseteq\bigcup_{\alpha}U_{\alpha}$.

Теорема Гейне — Бореля. Из всякого открытого покрытия отрезка $[a,b]$ можно выбрать конечное подпокрытие.

Общий вид: подмножество $\mathbb{R}^{n}$ компактно (всякое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие) $\iff$ оно замкнуто и ограничено.

Почему для интервала неверно. Покроем $(0,1)$ интервалами $U_{n}=\left(\frac1n,1\right)$, $n=2,3,\ldots$ Объединение — весь $(0,1)$. Но любой конечный набор $U_{n_1},\ldots,U_{n_k}$ даёт $\left(\frac{1}{\max n_i},1\right)$, и точки вблизи нуля не покрыты. Конечного подпокрытия нет.

Зачем это нужно: смысл конечности

Компактность — это способ превратить локальное свойство в глобальное.

Схема рассуждения, повторяющаяся в доказательствах десятков теорем:

1. В окрестности каждой точки нужное свойство выполнено (локально).
2. Эти окрестности покрывают всё множество.
3. По компактности выбираем конечное число окрестностей.
4. Конечного числа условий хватает, чтобы получить свойство на всём множестве.

Пример: равномерная непрерывность. Пусть $f$ непрерывна на $[a,b]$. Для данного $\varepsilon$ у каждой точки $x$ есть своё $\delta(x)$. Проблема: $\inf_{x}\delta(x)$ может оказаться нулём — именно это и происходит для $\sin(1/x)$ на $(0,1)$.

Компактность спасает: покроем отрезок интервалами $\left(x-\frac{\delta(x)}{2},\,x+\frac{\delta(x)}{2}\right)$, выберем конечное подпокрытие, возьмём $\delta = \frac12\min$ из конечного набора. Минимум конечного набора положительных чисел положителен. $\blacksquare$

Вот и всё содержание теоремы КантораГеорг Канторнемецкий математик · 1845–1918Показал, что бесконечности бывают разного размера, — и потратил остаток жизни на защиту этого результата от коллег и на попытки доказать одно-единственное утверждение, которое доказать нельзя. о равномерной непрерывности. Точно так же доказываются ограниченность непрерывной функции, теорема ВейерштрассаКарл Вейерштрасснемецкий математик · 1815–1897Пятнадцать лет учительствовал в провинциальной гимназии, а потом переписал анализ на языке $\varepsilon$ и $\delta$ — и предъявил функцию, у которой нигде нет касательной. о достижении максимума, теорема о конечном покрытии в интегрировании.

История: путаница с именами

Хронология запутана, и это само по себе поучительно.

Год	Автор	Что сделал
1852	ДирихлеПетер Густав Лежён Дирихленемецкий математик · 1805–1859Дал первое строгое условие сходимости ряда Фурье, нынешнее определение функции и способ доказывать теоремы теории чисел средствами анализа.	Использует конечное подпокрытие в лекциях (опубликованы в 1904-м)
1872	Гейне	Применяет идею при доказательстве равномерной непрерывности
1894	Пинчерле, Козен	Формулируют для счётных покрытий
1895	Борель	Доказывает для счётных покрытий отрезка, в диссертации
1900	Шёнфлис	Даёт название «теорема Гейне — Бореля»
1904	ЛебегАнри Лебегфранцузский математик · 1875–1941Предложил считать интеграл, разрезая не ось абсцисс, а ось значений, — и получил теорию, в которой предел и интеграл наконец можно менять местами., Юнг	Распространяют на произвольные (несчётные) покрытия

Гейне, строго говоря, теорему не формулировал — он пользовался идеей неявно. Борель доказал частный случай. Имя присвоил Шёнфлис, и историки давно указывают, что справедливее было бы говорить о теореме Дирихле — Бореля — Лебега (во французской традиции её и называют теоремой Бореля — Лебега).

Ещё один сюжет о том, как имена в математике распределяются не по заслугам, — рядом с правилом Лопиталя, лентой МёбиусаАвгуст Фердинанд Мёбиуснемецкий математик и астроном · 1790–1868Профессор астрономии, чьё имя носит самая известная поверхность в мире; открыл её в шестьдесят восемь лет, разбирая конкурсную задачу о многогранниках, — и не первым. Главная его работа при этом совсем другая… (открытой ЛистингомИоганн Бенедикт Листингнемецкий математик и физик · 1808–1882Придумал слово «топология» за полвека до того, как дисциплина обзавелась содержанием, и открыл одностороннюю поверхность на несколько месяцев раньше Мёбиуса. Имя закрепилось не за ним ни в том, ни в другом…) и неравенством ЧебышёваПафнутий Львович Чебышёврусский математик и механик · 1821–1894Основал петербургскую математическую школу, дал первые строгие оценки в законе распределения простых чисел и построил около сорока механизмов, включая шагающую машину. (доказанным Бьенеме).

Абстракция

Фреше (1906) и ХаусдорфФеликс Хаусдорфнемецкий математик и писатель · 1868–1942Дал определение топологического пространства, на котором предмет стоит до сих пор; половину жизни писал под псевдонимом эссе, стихи и пьесы, и многие знакомые не знали, что это один человек. (1914) переносят понятие на общие пространства, и определение через покрытия оказывается правильным — то есть работающим там, где определение через последовательности отказывает.

В метрических пространствах компактность равносильна секвенциальной компактности (из любой последовательности можно выбрать сходящуюся). В общих топологических пространствах — нет, и универсальным оказывается именно определение через покрытия.

Венец — теорема ТихоноваАндрей Николаевич Тихоновсоветский математик и геофизик · 1906–1993В двадцать лет доказал, что произведение любого числа компактов компактно; через сорок лет научил решать задачи, которые Адамар объявил не имеющими смысла, — и без этого не работала бы ни томография, ни… (1930): произведение любого (даже несчётного) семейства компактов компактно. Утверждение равносильно аксиоме выбора и лежит в основании функционального анализа (теорема БанахаСтефан Банахпольский математик · 1892–1945Дал функциональному анализу аксиомы и имя, а математике — образ школы, работающей в кафе за столиком с мраморной столешницей. — Алаоглу) и математической логики (теорема компактности, из которой РобинсонАбрахам Робинсонамериканский математик и логик · 1918–1974Средствами математической логики построил числа, меньшие всякого положительного, но не нулевые, — и задним числом сделал законными триста лет вычислений Лейбница и Эйлера. построит гипердействительные числа — Робинсон!).

Замечание для карты

Ещё одна точка с несколькими местами: Галле (Гейне), Париж (Борель, Лебег), Гёттинген (Дирихле, чьи лекции 1852 года). Если связь «многие-ко-многим» реализована, это удобный тестовый случай, где места разнесены ещё и по времени на полвека.