Дедекиндовы сечения: фундамент подведён

Момент осознания

Рихард Дедекинд (1831–1916) в 1858 году впервые читает курс дифференциального исчисления в цюрихском Политехникуме. И упирается в стену.

Ему нужно доказать студентам, что монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Все доказательства, которые он знает, в конечном счёте апеллируют к геометрической очевидности: точка на прямой куда-то приближается, значит, там что-то есть. Но почему там что-то есть?

В предисловии к книге он указывает точную дату, когда нашёл решение: 24 ноября 1858 года. Публикует он его только через четырнадцать лет — «Stetigkeit und irrationale Zahlen» («Непрерывность и иррациональные числа», 1872).

Вопрос, который никто не задавал

Дедекинд формулирует проблему обезоруживающе просто. Все умеют считать $\sqrt2\cdot\sqrt3 = \sqrt6$. Но что означает это равенство? Ведь ни один из трёх символов не обозначает известного объекта: рациональных чисел с такими квадратами нет.

До сих пор, насколько мне известно, это утверждение нигде не было строго доказано.

И он прав. Двести лет анализа опирались на арифметику вещественных чисел, которая нигде не была построена.

Сечение

Определение. Сечением называется разбиение множества рациональных чисел на два непустых класса $\mathbb{Q} = A\sqcup B$ таких, что каждый элемент $A$ меньше каждого элемента $B$. (Дополнительно требуют, чтобы в $A$ не было наибольшего элемента — это устраняет двойное представление.)

Определение вещественного числа: вещественное число есть сечение.

Проверим на $\sqrt2$:

$$A = \{q\in\mathbb{Q} : q<0\ \text{или}\ q^{2}<2\}, \qquad B = \{q\in\mathbb{Q} : q>0\ \text{и}\ q^{2}>2\}.$$

В $A$ нет наибольшего элемента (для любого $q\in A$ найдётся больший в $A$), в $B$ нет наименьшего. Между классами «дыра» — и именно эту дыру мы называем $\sqrt2$. Число не приближается к дыре; число и есть эта дыра, точнее — сам способ рассечения.

Что дальше нужно проверить

Здесь начинается работа, которую популярные изложения обычно пропускают, а зря — она поучительна.

Порядок. $\alpha\leqslant\beta$, если $A_\alpha\subseteq A_\beta$. Легко.

Сложение. $A_{\alpha+\beta} = \{a_1+a_2 : a_1\in A_\alpha,\ a_2\in A_\beta\}$. Тоже легко, и все свойства проверяются прямо.

Умножение. А вот тут неприятно. Для положительных $\alpha,\beta$ определение аналогичное, но при отрицательных сомножителях приходится разбирать случаи по знакам — четыре комбинации, каждая отдельно. Ассоциативность умножения доказывается перебором восьми случаев. Это не изящно, и в учебниках обычно оставляется читателю. Конструкция Кантора через фундаментальные последовательности в этом отношении удобнее.

Полнота — главная теорема. Дедекинд доказывает: всякое сечение множества вещественных чисел производится некоторым вещественным числом. То есть, построив $\mathbb{R}$ из дыр в $\mathbb{Q}$, мы получили множество, в котором дыр больше нет. Процесс не нужно повторять.

Именно это свойство равносильно существованию точной верхней грани, а через неё — теореме о промежуточном значении (Больцано), теореме Больцано — ВейерштрассаКарл Вейерштрасснемецкий математик · 1815–1897Пятнадцать лет учительствовал в провинциальной гимназии, а потом переписал анализ на языке $\varepsilon$ и $\delta$ — и предъявил функцию, у которой нигде нет касательной., теореме Гейне — БореляЭмиль Борельфранцузский математик, министр и участник Сопротивления · 1871–1956Придумал меру, на которой стоит вся современная теория вероятностей, а потом ушёл в политику — был министром флота, депутатом и сидел в тюрьме при Виши. и всему, что раньше принималось «по чертежу». Круг, в котором забуксовал БольцаноБернард Больцаночешский математик, философ и католический священник · 1781–1848Дал строгое определение предела и непрерывности за четыре года до Коши, построил функцию без производной за полвека до Вейерштрасса — и почти всё это пролежало в столе сто лет. в 1817 году, разорван.

Античный предок

Дедекинд прямо указывает: его определение — это определение V.5 из «Начал» ЕвклидаЕвклидгреческий математик · около 300 года до н. э.Автор книги, которая две тысячи лет была вторым по тиражу текстом после Библии, — и о котором самом не известно почти ничего., восходящее к Евдоксу. ЕвдоксЕвдокс Книдскийгреческий математик и астроном · около 408–355 до н. э.Придумал, как сравнивать несоизмеримые величины, и метод, которым две тысячи лет считали площади, — обе идеи вернулись в XIX веке почти без изменений. сравнивал отношения величин по тому, как они делят пары целых чисел $m, n$; Дедекинд сравнивает вещественные числа по тому, как они делят $\mathbb{Q}$. Это одна и та же идея, разделённая двадцатью двумя веками.

Разница в цели: Евдокс строил критерий равенства уже существующих отношений, Дедекинд — определение самих объектов. Грек описывал; немец конструировал.

1872: год строгости

Замечательное совпадение — в один год выходят сразу несколько конструкций $\mathbb{R}$:

Автор	Конструкция
Дедекинд (Брауншвейг)	Сечения $\mathbb{Q}$
КанторГеорг Канторнемецкий математик · 1845–1918Показал, что бесконечности бывают разного размера, — и потратил остаток жизни на защиту этого результата от коллег и на попытки доказать одно-единственное утверждение, которое доказать нельзя. (Галле)	Классы эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел
Гейне (Галле)	Изложение подхода Вейерштрасса
Мере (Париж, ещё 1869)	Независимо — то же, что у Кантора
Вейерштрасс (Берлин)	В лекциях; через ряды рациональных

Конструкция Кантора удобнее в обобщениях: $\mathbb{R}$ — это пополнение метрического пространства $\mathbb{Q}$, а ту же процедуру можно применить к любому метрическому пространству. Именно она ведёт к точке о Банахе (полнота банаховых пространств) и к $p$-адическим числам.

Конструкция Дедекинда нагляднее и лучше показывает, что такое порядковая полнота.

Обе дают изоморфные результаты: полное упорядоченное поле единственно с точностью до изоморфизма. Этот факт — тихая, но важная теорема: неважно, из чего вы построили вещественные числа, вы получите одно и то же.

Прочее у Дедекинда

• Теория идеалов (1871, в приложениях к лекциям ДирихлеПетер Густав Лежён Дирихленемецкий математик · 1805–1859Дал первое строгое условие сходимости ряда Фурье, нынешнее определение функции и способ доказывать теоремы теории чисел средствами анализа.) — восстановление однозначности разложения на множители в кольцах целых алгебраических чисел; фундамент современной алгебры.
• «Was sind und was sollen die Zahlen?» (1888) — построение натуральных чисел: определение бесконечного множества (равномощно собственной части), теорема о рекурсии, аксиоматика, которую годом позже воспроизведёт ПеаноДжузеппе Пеаноитальянский математик и логик · 1858–1932Аксиоматизировал натуральный ряд, векторное пространство и математическую запись — и построил кривую, которая проходит через каждую точку квадрата. и которая будет носить его имя.
• Дружба и переписка с Кантором — важнейший источник по истории теории множеств.

Дедекинд, между прочим, пятьдесят лет преподавал в технической школе Брауншвейга, отказавшись от университетских кафедр, — жил с сестрой в родном городе и не искал карьеры.

Следующая точка: Галле — из вопроса о тригонометрических рядах вырастает наука о бесконечном.