Джузеппе Пеано

Пеано занимался одним и тем же всю жизнь: доводил до точности то, что все считали и так понятным. Иногда результат оказывался чудовищем.

Крестьянский сын из-под Кунео

Родился на ферме, ходил в школу за несколько километров; заметил его дядя-священник и увёз в Турин. Университет, кафедра, Академия — всё в Турине, где он и прожил жизнь.

Славу ему принесла способность находить контрпримеры. Первую известность он получил, показав ошибку в учебнике собственного профессора; дальше это стало почерком.

Кривая, заполняющая квадрат

В 1890 году Пеано построил непрерывное отображение отрезка на квадрат — кривую, которая проходит через каждую точку квадрата. До этого «кривая» и «одномерное» считались синонимами.

Публикация — чистая арифметика, без единого рисунка: он нарочно записал построение так, чтобы ни одна картинка не могла подтвердить и опровергнуть. Результат бил по интуиции сильнее, чем непрерывная функция без производной у Вейерштрасса: понятие размерности пришлось определять заново, чем и занялись Брауэр, Урысон и Менгер. Мандельброт через восемьдесят лет объяснит, что такие объекты — норма, а не патология.

Аксиомы

Натуральные числа. «Arithmetices principia» (1889): пять аксиом, из которых выводится вся арифметика — ноль есть число, у каждого есть следующее, разные числа имеют разных последователей, ноль ни за кем не следует, и принцип индукции. Пеано честно отмечал, что похожее сделал годом раньше Дедекинд.

Векторное пространство. В 1888 году, излагая «учение о протяжённости» Грассмана, Пеано выписал аксиомы линейного пространства в нынешнем виде — включая бесконечномерный случай. Тридцать лет на это никто не обращал внимания; понадобились Фреше и Банах, чтобы определение понадобилось.

Запись. Знаки $\in$, $\subset$, $\cup$, $\cap$, кванторы существования — его или введены им в общий обиход. «Formulario mathematico» — попытка записать всю математику на одном формальном языке; вышло пять изданий, последнее целиком на «латино сине флексионе», искусственном языке без склонений, который Пеано придумал сам и на котором под конец читал лекции. Студенты сдавали экзамен, слушая упрощённую латынь.

Ещё одна фамилия в анализе — теорема существования решения дифференциального уравнения при одной только непрерывности правой части (без единственности). И знаменитый пример: остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано.