Грассман: учение о протяжённости

Человек

Герман Гюнтер Грассман (1809–1877) — учитель гимназии в Штеттине (ныне Щецин), сын учителя математики, отец одиннадцати детей. Университетского математического образования он не получал: изучал в Берлине богословие, классическую филологию и философию, математику освоил самостоятельно.

За всю жизнь не имел университетской должности по математике. Дважды пытался — не вышло. Отзыв КуммераЭрнст Куммернемецкий математик · 1810–1893Обнаружил, что в кольцах алгебраических чисел разложение на простые множители перестаёт быть однозначным, — и придумал «идеальные числа», чтобы её вернуть. на его работу (1847) был вежливо-уничтожающим: «содержит достойные внимания материалы, изложенные в неудовлетворительной форме».

Книга

«Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik» — «Линейное учение о протяжённости, новая отрасль математики», Лейпциг, 1844.

В ней содержится, в современных терминах:

• $n$-мерное векторное пространство над полем — при том, что «$n$-мерное пространство» в 1844 году звучало как бессмыслица: геометрия знала три измерения, и Грассману приходилось объяснять, что речь не о физическом пространстве;
• линейная зависимость и независимость, базис, размерность;
• подпространства, их сумма и пересечение, и формула
  $$\dim(U+V)=\dim U+\dim V-\dim(U\cap V);$$
• линейные отображения и их композиция;
• внешнее (грассманово) произведение и начала полилинейной алгебры;
• скалярное произведение, проекции.

Это, по существу, весь первый курс линейной алгебры, написанный за семьдесят лет до того, как линейная алгебра оформилась как предмет.

Внешнее произведение

Главная оригинальная конструкция, и она заслуживает разбора.

Грассман вводит произведение векторов $a\wedge b$ (он писал его иначе), подчинённое единственному правилу:

$$\boxed{\;a\wedge a = 0\;}$$

Следствие: антикоммутативность. Раскроем $(a+b)\wedge(a+b)=0$:

$$\underbrace{a\wedge a}_{0}+a\wedge b+b\wedge a+\underbrace{b\wedge b}_{0}=0 \quad\Longrightarrow\quad a\wedge b = -\,b\wedge a.$$

Геометрический смысл. Если $a$ и $b$ — векторы, то $a\wedge b$ — ориентированный параллелограмм, натянутый на них: у него есть площадь и есть сторона обхода. Условие $a\wedge a=0$ означает, что параллелограмм на двух совпадающих векторах вырожден. Знак минус при перестановке — смена ориентации.

Дальше $a\wedge b\wedge c$ — ориентированный параллелепипед, и так далее. Пространство $k$-векторов имеет размерность

$$\dim\Lambda^{k}(V) = C_{n}^{k},$$

потому что базис составляют произведения $e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_k}$ с $i_1<\cdots<i_k$.

Определитель. При $k=n$ получаем $\dim\Lambda^{n}(V)=C_n^n=1$ — пространство одномерно. Значит, для любого линейного оператора $A$

$$Ae_{1}\wedge Ae_{2}\wedge\cdots\wedge Ae_{n} = \lambda\cdot e_{1}\wedge\cdots\wedge e_{n},$$

и это число $\lambda$ и есть определитель $A$.

Вот и весь определитель — как коэффициент растяжения объёма. Все его свойства (антисимметричность по строкам, обращение в нуль при совпадающих строках, мультипликативность $\det(AB)=\det A\det B$) становятся очевидными следствиями правила $a\wedge a=0$, а не результатом громоздких вычислений с суммами по перестановкам.

Это и есть образец того, что через восемьдесят лет Эмми НётерЭмми Нётернемецкий математик · 1882–1935Изменила не столько набор теорем, сколько способ думать: после неё алгебра занимается не вычислениями с объектами, а структурами и отображениями между ними. назовёт «begrifflich, nicht rechnerisch» — понятийно, а не вычислительно (Эмми Нётер).

Где это работает сегодня:

• Дифференциальные формы и внешнее дифференцирование: $d\omega$, теорема Стокса в общем виде
  $$\int_{\partial M}\omega = \int_{M}d\omega,$$
  объединяющая формулу НьютонаИсаак Ньютонанглийский математик, физик и астроном · 1643–1727Создатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику. — ЛейбницаГотфрид Вильгельм Лейбницнемецкий философ, математик и дипломат · 1646–1716Придумал знаки $d$ и $\int$, которыми мы пишем анализ до сих пор, — и всю жизнь искал язык, на котором спор можно было бы заканчивать словами «посчитаем»., теоремы Грина, ГауссаКарл Фридрих Гаусснемецкий математик и астроном · 1777–1855«Король математиков», у которого напечатанное было заметно меньше сделанного: половина результатов пролежала в дневнике до самой смерти — включая неевклидову геометрию. — Остроградского и СтоксаДжордж Габриэль Стоксбританский математик и физик · 1819–1903Вывел уравнения движения вязкой жидкости, которые полтора века спустя стали одной из семи Проблем тысячелетия. Занимал кембриджскую кафедру Ньютона пятьдесят четыре года. в одну.
• Алгебры Клиффорда и, через них, спиноры и уравнение ДиракаПоль Дираканглийский физик-теоретик · 1902–1984Написал уравнение, из которого следовало существование античастиц, — и они нашлись. Ввёл дельта-функцию, которую математики двадцать лет считали недопустимой, а потом узаконили..
• Грассманианы — многообразия $k$-мерных подпространств; центральный объект алгебраической геометрии.
• Антикоммутирующие («грассмановы») переменные в квантовой теории поля — язык описания фермионов. Принцип запрета Паули есть буквально соотношение $\psi\wedge\psi=0$.

Почему книгу не прочли

Причин несколько, и все поучительны.

Философский язык. Грассман был учеником Шлейермахера и излагал математику в диалектической манере, с длинными рассуждениями об общем и особенном, о непрерывном и дискретном. Формул мало, определения тонут в философии. МёбиусАвгуст Фердинанд Мёбиуснемецкий математик и астроном · 1790–1868Профессор астрономии, чьё имя носит самая известная поверхность в мире; открыл её в шестьдесят восемь лет, разбирая конкурсную задачу о многогранниках, — и не первым. Главная его работа при этом совсем другая…, которому Грассман послал книгу, честно ответил, что не смог её одолеть.

Полное отсутствие примеров и связи с известными задачами. Читателю не за что зацепиться.

Радикальная новизна. «Пространство размерности $n$» в 1844 году не имело смысла ни для кого. Требовалось сначала объяснить, зачем это вообще нужно, — Грассман этого не сделал.

Не тот автор. Гимназический учитель из провинции без учёной репутации.

Продано было, по свидетельствам, несколько десятков экземпляров; остаток тиража издатель пустил в макулатуру.

Второе издание (1862) Грассман написал заново, в строгой аксиоматической манере, с нумерованными предложениями и доказательствами — то есть исправил всё, что мешало в первом. Результат: прочли ещё меньше.

Санскрит

Отчаявшись, Грассман переключился на языкознание — и добился там того признания, которого не получил в математике.

Его перевод «Ригведы» и, главное, «Wörterbuch zum Rig-Veda» (1873–1875) — полный словарь ко всему тексту с указанием всех вхождений — остаётся стандартным справочником по сей день, полтора века спустя. За него Тюбингенский университет присудил ему почётную докторскую степень.

Ему же принадлежит закон Грассмана в индоевропеистике (о диссимиляции придыхательных в санскрите и греческом) — один из фонетических законов, входящих в учебники сравнительного языкознания.

Есть и второй закон Грассмана — в оптике, о сложении цветов; он же работал в теории цвета и в акустике (первым правильно объяснил происхождение гласных как наборов гармоник).

Признание

Пришло посмертно и по частям:

• Ганкель (1867) первым оценил работу публично.
• Клиффорд (1878) соединил идеи Грассмана и ГамильтонаУильям Роуэн Гамильтонирландский математик, физик и астроном · 1805–1865Пятнадцать лет искал, как умножать тройки чисел, и однажды на мосту в Дублине понял, что надо взять четвёрки и отказаться от коммутативности. в алгебрах Клиффорда.
• ПеаноДжузеппе Пеаноитальянский математик и логик · 1858–1932Аксиоматизировал натуральный ряд, векторное пространство и математическую запись — и построил кривую, которая проходит через каждую точку квадрата. (1888, «Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann») переизложил теорию понятным языком и дал первое современное аксиоматическое определение векторного пространства — включая бесконечномерный случай.
• Э. КартанЭли Картанфранцузский математик · 1869–1951Довёл до порядка классификацию Киллинга, придумал дифференциальные формы и связности — и двадцать лет считался автором работ, которых никто не читал. (1899) ввёл дифференциальные формы, опираясь прямо на внешнее произведение.
• Уайтхед, Бурбаки закрепили грассманову линейную алгебру как стандарт.

Формулировка «вероятно, самый недооценённый при жизни математик XIX века» — не преувеличение. Разве что Больцано может составить конкуренцию.

Следующая точка: Ирландия — логика становится алгеброй.