Больцано: строгость в изоляции

Человек и хронология

Бернард Больцано (1781–1848) — сын итальянского торговца предметами искусства и пражской немки, католический священник, с 1805 года профессор кафедры «науки о религии» Пражского университета.

Уточнение хронологии. Исходная версия говорит о «священнике, отстранённом от кафедры за вольнодумство», который «публикует в Праге работу». Порядок обратный: работа 1817 года написана действующим профессором, а отстранён Больцано был в 1819 году — за проповеди против милитаризма, национальной розни и социального неравенства, после отказа отречься от своих взглядов. После этого он оказался под полицейским надзором и без права печататься в австрийских владениях. Парадокс: именно запрет на преподавание дал ему время на математику, и лучшие его результаты относятся к 1820–1840-м годам, когда он был частным лицом без должности.

Работа 1817 года

Название говорит само за себя:

«Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, daß zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege»
(«Чисто аналитическое доказательство теоремы о том, что между любыми двумя значениями, дающими результаты противоположного знака, лежит по меньшей мере один вещественный корень уравнения»)

Ключевое слово — «чисто аналитическое». Это программное заявление. До Больцано теорему о промежуточном значении считали очевидной: график непрерывной функции, идущий снизу вверх, обязан пересечь ось — это же видно. Больцано настаивает: очевидность на чертеже не есть доказательство. Геометрическая интуиция должна быть изгнана из оснований анализа, потому что она подводит (ВейерштрассКарл Вейерштрасснемецкий математик · 1815–1897Пятнадцать лет учительствовал в провинциальной гимназии, а потом переписал анализ на языке $\varepsilon$ и $\delta$ — и предъявил функцию, у которой нигде нет касательной. через 55 лет покажет, насколько сильно).

Определение непрерывности

Больцано пишет: функция $f$ непрерывна в промежутке, если разность $f(x+\omega)-f(x)$ может быть сделана меньше любой заданной величины при достаточно малом $\omega$.

Это эпсилон-дельта-определение, за четыре года до «Cours d'analyse» КошиОгюстен Луи Кошифранцузский математик · 1789–1857Первым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить. и за полвека до Вейерштрасса. Заметьте формулировку «меньше любой заданной величины» — это тот же оборот, которым пользовался Евдокс. Двадцать два века одна и та же лингвистическая конструкция ждёт кванторов.

Что ещё есть в этой работе

1. Критерий Коши (за четыре года до Коши). Больцано формулирует: последовательность сходится тогда и только тогда, когда её члены с достаточно большими номерами сколь угодно близки друг к другу.

2. Теорема Больцано — Вейерштрасса (за 50 лет до Вейерштрасса), в виде леммы: у ограниченного бесконечного множества есть предельная точка.

3. Точная верхняя грань. Больцано понимает, что доказательство теоремы о промежуточном значении требует существования $\sup$ для ограниченного множества, и формулирует это как отдельное утверждение.

Честная оценка: где Больцано не мог не забуксовать

Его доказательство теоремы о промежуточном значении не может быть полным, и не по его вине. Существование точной верхней грани — это свойство полноты $\mathbb{R}$, а вещественные числа в 1817 году не построены. Больцано выводит существование $\sup$ из критерия Коши, а критерий Коши, в свою очередь, требует полноты. Круг.

Разорвать его удастся только в 1872 году, когда ДедекиндРихард Дедекинднемецкий математик · 1831–1916Определил действительное число через разрез рационального ряда и научил математику работать с бесконечными множествами как с объектами — сорок лет проработав учителем в родном Брауншвейге. построит $\mathbb{R}$ явно (Дедекинд). До тех пор любое «строгое» доказательство теоремы о промежуточном значении опирается на невысказанную аксиому.

Это не упрёк Больцано, а иллюстрация того, как устроена математика: нельзя быть строгим более чем на один этаж ниже существующего фундамента.

Более поздние работы

• «Functionenlehre» (написана ок. 1830, издана в 1930): здесь построена всюду непрерывная, нигде не дифференцируемая функция — на сорок лет раньше Вейерштрасса. Конструкция геометрическая, итеративная: отрезок заменяется ломаной из четырёх звеньев, каждое звено — снова ломаной, и так далее. Строгое доказательство недифференцируемости у Больцано неполно, но пример правильный.
• «Paradoxien des Unendlichen» (издано посмертно в 1851): Больцано первым отчётливо формулирует, что бесконечное множество можно взаимно однозначно отобразить на его собственную часть (пример: $y=2x$ отображает $[0,1]$ на $[0,2]$), и предлагает считать это не парадоксом, а определяющим свойством бесконечности. Дедекинд возьмёт ровно эту идею как определение в 1888-м, КанторГеорг Канторнемецкий математик · 1845–1918Показал, что бесконечности бывают разного размера, — и потратил остаток жизни на защиту этого результата от коллег и на попытки доказать одно-единственное утверждение, которое доказать нельзя. построит на ней теорию (Кантор).

Почему его не заметили

• Прага — периферия относительно Парижа, Берлина и Гёттингена.
• Работы выходили в изданиях Богемского общества наук крошечными тиражами.
• После 1819 года на нём висел политический запрет.
• Значительная часть написанного не публиковалась при жизни вообще: «Grössenlehre», масштабный проект переустройства всей математики, остался в рукописях; «Functionenlehre» пролежала сто лет.

Больцано был переоткрыт в 1870-х благодаря Ганкелю, Штольцу и Кантору. Вейерштрасс, узнав о нём, признал приоритет. Сегодня его имя стоит в теореме Больцано — Вейерштрасса — единственный видимый след человека, который сделал всё на десятилетия раньше и не был услышан.

Урок для карты: приоритет — функция не только открытия, но и коммуникации. Ту же мораль дают Кардано (опоздал с публикацией — в линии вероятностей), Ньютон (не печатался) и Керала (осталась вне европейского обмена).

Следующая точка: Париж — то же самое, но услышанное.