Пеано: пять аксиом, из которых следует вся арифметика

Зачем понадобились аксиомы у натуральных чисел

К концу XIX века анализ был аккуратно сведён к арифметике: ВейерштрассКарл Вейерштрасснемецкий математик · 1815–1897Пятнадцать лет учительствовал в провинциальной гимназии, а потом переписал анализ на языке $\varepsilon$ и $\delta$ — и предъявил функцию, у которой нигде нет касательной. и ДедекиндРихард Дедекинднемецкий математик · 1831–1916Определил действительное число через разрез рационального ряда и научил математику работать с бесконечными множествами как с объектами — сорок лет проработав учителем в родном Брауншвейге. показали, как построить действительные числа из рациональных, рациональные — из целых, целые — из натуральных. Оставался последний этаж, и он висел в воздухе. Что такое натуральное число, никто не определял: считалось, что это и так ясно.

Джузеппе Пеано (1858–1932), профессор Туринского университета, издаёт в 1889 году книжку на латыни: «Arithmetices principia, nova methodo exposita» — «Начала арифметики, изложенные новым методом». Три десятка страниц, из них половина — предисловие, где вводится язык.

Пеано честно указывает предшественника: годом раньше Рихард Дедекинд выпустил «Was sind und was sollen die Zahlen?» с той же по существу конструкцией. Поэтому в аккуратных текстах систему называют аксиомами Дедекинда — Пеано; имя Пеано закрепилось за ней потому, что его запись оказалась читаемой.

Пять аксиом

В оригинале аксиом девять, но четыре из них описывают свойства равенства — их сегодня относят к логике, а не к арифметике. Остаётся пять. Пеано начинал ряд с единицы; принято начинать с нуля, так удобнее.

Первичные понятия: множество $\mathbb{N}$, элемент $0$ и операция «следующий» $S$.

1. $0 \in \mathbb{N}$ — ноль есть натуральное число.
2. Если $n \in \mathbb{N}$, то $S(n) \in \mathbb{N}$ — у всякого числа есть следующее.
3. $S(n) \neq 0$ — ноль ни за кем не следует.
4. Если $S(m) = S(n)$, то $m = n$ — у разных чисел разные следующие.
5. Аксиома индукции. Если множество $M \subseteq \mathbb{N}$ содержит $0$ и вместе с каждым $n$ содержит $S(n)$, то $M = \mathbb{N}$.

Пятая — это в точности принцип математической индукции из школьного курса: база плюс шаг дают утверждение для всех $n$. В школе он подаётся как приём доказательства; здесь видно, чем он является на самом деле — определением натурального ряда. Ряд натуральных чисел — это то, где индукция работает; ничего сверх того о нём не сказано.

Зачем нужны третья и четвёртая, видно на контрпримерах.

Дальше из пяти аксиом определяются сложение и умножение — рекурсией по второму аргументу:

$$m + 0 = m, \qquad m + S(n) = S(m+n);$$
$$m \cdot 0 = 0, \qquad m \cdot S(n) = m\cdot n + m.$$

И всё. Коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, признаки делимости, основная теорема арифметики, бесконечность простых — всё это теоремы, доказываемые индукцией из пяти строчек.

Значки

Отдельная заслуга книжки — обозначения. Пеано вводит в этом и соседних сочинениях:

• $\in$ — принадлежность (от греческого ἐστί, «есть»);
• $\supset$ — следование;
• $\cap$ и $\cup$ — пересечение и объединение;
• $\exists$ — существование (это уже 1897 год).

Мы пользуемся ими ежедневно и не задумываемся, что у них есть автор и дата рождения. Именно эта запись — линейная, набираемая в строчку — вытеснила двумерное письмо Фреге, хотя идеи были фрегевские.

Туринская школа Пеано выпускала «Formulario Mathematico» — свод математики, записанной целиком формулами (пять изданий, 1895–1908). Заодно Пеано изобрёл искусственный язык latino sine flexione — латынь без склонений — и печатал на нём статьи. Преподавать в таком стиле оказалось невозможно: студенты бунтовали, и в 1901 году его отстранили от чтения курса в Военной академии.

Тот же человек через год после «Начал арифметики» построит кривую, заполняющую квадрат, а ещё через год — аксиомы векторного пространства. Три разные линии этой карты, один автор.

Тонкость, из-за которой всё дальнейшее

В пятой аксиоме сказано: «для всякого множества $M$». Это квантор по множествам, то есть логика второго порядка. Дедекинд доказал: такая система категорична — все её модели изоморфны, натуральный ряд определён однозначно с точностью до переименования.

Но логика второго порядка неудобна: для неё нет полного исчисления. Поэтому современная арифметика Пеано (её обозначают PA) формулируется в логике первого порядка, а индукция превращается в схему: своя аксиома для каждой формулы языка. Аксиом становится бесконечно много, зато все они первого порядка.

И вот цена: категоричность теряется. У первопорядковой PA есть нестандартные модели — множества, где выполнены все аксиомы, но кроме обычных чисел присутствуют «бесконечно большие» элементы, до которых от нуля не досчитать. Их существование выводится из теоремы компактности, а Сколем предъявил их явно в 1934 году.

Сначала это выглядело как дефект. Через четверть века Абрахам Робинсон сделает из того же самого дефекта нестандартный анализ и вернёт математике бесконечно малые.

А главное — именно арифметика Пеано станет героем следующего акта. Когда говорят «теорема ГёделяКурт Гёдельавстрийский и американский логик · 1906–1978Доказал, что в любой достаточно богатой формальной системе есть истинные утверждения, которые она не может доказать, — и тем закрыл программу Гильберта в двадцать пять лет. о неполноте», подразумевают: в PA есть истинные утверждения, которые в PA не доказываются. Система, выписанная в Турине, — не пример среди прочих, а тот самый порог, начиная с которого начинается неполнота.

Следующая точка: Гёттинген — где тот же метод применят к геометрии и объявят, что точками можно считать пивные кружки.