Поиск

Карта → персоналии → биография

1906–1978 австрийский и американский логик

Курт Гёдель

Kurt Gödel

Курт Гёдель студентом, 1925
Курт Гёдель студентом, 1925 автор неизвестен · Public domain

Доказал, что в любой достаточно богатой формальной системе есть истинные утверждения, которые она не может доказать, — и тем закрыл программу Гильберта в двадцать пять лет.

7 сентября 1930 года в Кёнигсберге проходил конгресс. На следующий день Гильберт произнёс речь, кончавшуюся словами «Мы должны знать — мы будем знать». Накануне, на круглом столе, двадцатичетырёхлетний Гёдель коротко сообщил, что арифметика неполна. Его замечание почти никто не услышал.

Теоремы о неполноте

Программа Гильберта требовала доказать непротиворечивость математики её собственными, финитными средствами. Гёдель показал, что так нельзя.

Приём — арифметизация синтаксиса: каждому утверждению и каждому доказательству приписывается номер, так что утверждения о доказуемости становятся утверждениями о числах. Тогда можно построить формулу, которая говорит о себе: «я недоказуема».

Первая теорема. Во всякой непротиворечивой формальной системе, содержащей арифметику, есть утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
Вторая. Такая система не может доказать собственную непротиворечивость.

Диагональный ход здесь тот же, что у Кантора и у Тьюринга шестью годами позже, — и это не совпадение: все три результата об одном.

Континуум-гипотеза

Вторая большая работа (1938–1940): Гёдель построил модель — конструктивные множества, — в которой выполняются и аксиома выбора, и континуум-гипотеза. Значит, опровергнуть их из обычных аксиом нельзя.

Половину дела он оставил другим. Пол Коэн в 1963 году методом форсинга построил модель, где континуум-гипотеза неверна. Вместе это значит: вопрос, который Кантор считал делом техники, а Гильберт поставил первым в своём списке, ответа не имеет.

Принстон

В 1940 году Гёдель через Транссиб и Японию перебрался в США и до конца жизни работал в Институте перспективных исследований. Его ближайшим другом стал Эйнштейн, говоривший, что ходит в институт «главным образом ради привилегии возвращаться домой вместе с Гёделем».

На экзамене для получения гражданства Гёдель заявил, что нашёл в американской конституции логическую лазейку, позволяющую законным путём установить диктатуру; Эйнштейн с трудом отвлёк судью. К шестидесятилетию Эйнштейна он подарил решение уравнений общей теории относительности с замкнутыми времениподобными линиями — вселенная, в которой можно вернуться в собственное прошлое.

Гёдель страдал тяжёлой паранойей: боялся отравления и ел только то, что готовила жена. Когда она надолго попала в больницу, он перестал есть вовсе и умер от истощения.

Точки на карте

Где имя встречается в статьях: сначала точки, где этот человек — главный герой, дальше по хронологии.

Все персоналии