Мальцев: теорема компактности и рождение теории моделей

Провинциальный преподаватель

Анатолий Иванович Мальцев (1909–1967) окончил Московский университет в 1931 году и был направлен преподавать в Ивановский педагогический институт. Он проработал там двадцать девять лет — до 1960 года, — параллельно учась в аспирантуре у Колмогорова (1934–1937) и в докторантуре Стекловки (1939–1941).

Всё, о чём идёт речь ниже, сделано в Иванове, при полной нагрузке провинциального пединститута и почти без собеседников.

Теорема, которая кажется невозможной

Теорема компактности. Пусть дано (быть может, бесконечное) множество формул первого порядка. Если у каждого его конечного подмножества есть модель, то модель есть и у всего множества сразу.

Утверждение выглядит слишком хорошим. Условие проверяется по кусочкам — а вывод делается сразу обо всём бесконечном наборе.

Для счётного множества формул это доказал ГёдельКурт Гёдельавстрийский и американский логик · 1906–1978Доказал, что в любой достаточно богатой формальной системе есть истинные утверждения, которые она не может доказать, — и тем закрыл программу Гильберта в двадцать пять лет. в 1930 году как следствие своей теоремы о полноте: доказательство — объект конечный, поэтому противоречие, если оно есть, выводится из конечного числа посылок. Мальцев в 1936 году снял ограничение на счётность: теорема верна для формул любой мощности. С тех пор её и называют теоремой компактности Гёделя — Мальцева.

Смысл названия — топологический: множество моделей естественно превращается в компактное пространство, и теорема оказывается свойством «из всякого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие», записанным на языке логики. Это тот же самый переход «локальное → глобальное», что и в компактности по Гейне — Борелю.

Что она делает

Приём всегда один: чтобы получить объект с невозможным на вид свойством, надо написать про него бесконечно много условий и заметить, что любое конечное их число выполнимо.

Пример: числа, которых нет. Возьмём арифметику ПеаноДжузеппе Пеаноитальянский математик и логик · 1858–1932Аксиоматизировал натуральный ряд, векторное пространство и математическую запись — и построил кривую, которая проходит через каждую точку квадрата. и добавим к языку новую константу $c$ и бесконечно много аксиом:

$$c > 0,\quad c > 1,\quad c > 2,\quad c > 3,\quad \dots$$

Любой конечный кусок этого списка выполним в обычном натуральном ряде: если условий конечное число, возьмите $c$ побольше всех упомянутых. Значит, по теореме компактности выполним и весь список.

Получается модель арифметики, где выполнены все её аксиомы — и есть элемент, больший всякого натурального числа. Это нестандартная модель: та самая, из-за которой первопорядковая арифметика Пеано не определяет натуральный ряд однозначно.

Двадцать пять лет это считалось неприятностью. В 1960 году Абрахам Робинсон проделал то же самое с полем действительных чисел — добавил элемент, меньший всех положительных, — и получил нестандартный анализ: бесконечно малые ЛейбницаГотфрид Вильгельм Лейбницнемецкий философ, математик и дипломат · 1646–1716Придумал знаки $d$ и $\int$, которыми мы пишем анализ до сих пор, — и всю жизнь искал язык, на котором спор можно было бы заканчивать словами «посчитаем». и ЭйлераЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя., узаконенные через триста лет. Тот же приём, тот же инструмент.

1941: перевод на язык алгебры

Второй результат Мальцева важен не меньше первого, а известен куда меньше.

В работе 1941 года — она вышла в «Учёных записках Ивановского педагогического института» — он превращает теорему компактности в общий метод получения локальных теорем.

Локальная теорема Мальцева. Если свойство алгебраической системы записывается набором формул первого порядка, то оно локально: если им обладает всякая конечно порождённая подсистема, то им обладает и вся система.

Схема одна и та же и работает по всей алгебре:

• если всякая конечно порождённая подгруппа группы вложима в группу матриц данного размера над полем, то и вся группа вложима (это теорема самого Мальцева, 1940);
• если всякая конечно порождённая подгруппа упорядочиваема, то упорядочиваема и группа;
• если всякий конечный кусок графа раскрашивается в $k$ цветов, то раскрашивается и весь граф (теорема ЭрдёшаПал Эрдёшвенгерский математик · 1913–1996Полторы тысячи статей, пятьсот соавторов, ни дома, ни семьи, ни постоянной работы — сорок лет он ездил из университета в университет с одним чемоданом. — де Брёйна, тот же приём в дискретной математике).

Раньше каждую такую теорему доказывали отдельно и с трудом. Мальцев показал, что все они — одна теорема логики, применённая к разному материалу. Логика перестала быть разговором об основаниях и стала рабочим инструментом внутри математики. Это и есть рождение теории моделей.

Работа 1941 года прошла незамеченной: война. На Западе те же идеи начали развивать ТарскийАльфред Тарскийпольско-американский логик и математик · 1901–1983Дал первое строгое определение слова «истинно» — и тут же доказал, что внутри самого языка такое определение невозможно; уехал из Польши за три недели до войны, читая доклад в Гарварде., Хенкин и РобинсонАбрахам Робинсонамериканский математик и логик · 1918–1974Средствами математической логики построил числа, меньшие всякого положительного, но не нулевые, — и задним числом сделал законными триста лет вычислений Лейбница и Эйлера. около 1950 года, и приоритет Мальцева был признан позже.

Что было дальше

Мальцев защитил докторскую в 1941 году, в 1953-м стал членом-корреспондентом, в 1958-м — академиком. В 1959 году он перебрался в новосибирский Академгородок, где до самой смерти заведовал отделом алгебры Института математики и основал сибирскую алгебраическую школу.

Его именем названы алгебры Мальцева, локальная теорема, условия Мальцева в универсальной алгебре. «Кауровская тетрадь» — знаменитый сборник нерешённых задач теории групп — ведётся с его семинара.

Двадцать девять лет из своей биографии он проработал в областном пединституте — и это, пожалуй, лучший на нашей карте довод в пользу того, что математика делается не только там, где висит вывеска.

Следующая точка: Принстон и Стэнфорд — где выяснится, что вопрос КантораГеорг Канторнемецкий математик · 1845–1918Показал, что бесконечности бывают разного размера, — и потратил остаток жизни на защиту этого результата от коллег и на попытки доказать одно-единственное утверждение, которое доказать нельзя. о мощности континуума не имеет ответа.