Абрахам Робинсон

Робинсонов на карте трое, и путать их нельзя. Абрахам — нестандартный анализ. Джулия — десятая проблема Гильберта. Рафаэль — шесть плиток, замостивших плоскость только непериодически; он был мужем Джулии.

Вроцлав, Иерусалим, Лондон

Родился в 1918 году в Вальденбурге в Силезии (нынешний Валбжих). Отец умер до его рождения; в 1933 году мать увезла сыновей в Палестину. Учился в Иерусалимском университете у Абрахама Френкеля — того самого, чьё имя стоит второй буквой в аббревиатуре ZF.

В 1940 году, оказавшись во Франции стипендиатом Сорбонны, он бежал от немецкого наступления в Англию и всю войну проработал в авиационном ведомстве — аэродинамика сверхзвуковых крыльев. Из этого вышла его первая специальность: следующие десять лет он занимался прикладной механикой, преподавал авиастроение в Торонто и написал учебник о крыле дельтовидной формы.

Логику он при этом не бросал никогда, и в 1949-м защитил по ней докторскую в Лондоне.

Бесконечно малые

Лейбниц считал производную отношением бесконечно малых приращений и не мог объяснить, что это за величины. Беркли в 1734 году назвал их «призраками почивших величин» и был прав: величина, которая то нулевая, то нет, — не число.

Ответ давали дважды. Коши и Вейерштрасс просто убрали бесконечно малые, заменив их пределами. Робинсон в 1960 году сделал обратное — узаконил их.

Инструмент — теорема компактности. Возьмём язык арифметики, добавим новую константу $\varepsilon$ и бесконечный список аксиом: $0<\varepsilon<1$, $0<\varepsilon<1/2$, $0<\varepsilon<1/3$ и так далее. Всякий конечный кусок этого списка выполним в обычных числах — достаточно взять $\varepsilon$ поменьше. По теореме компактности выполним и весь список сразу. Получается поле $^{*}\mathbb{R}$, содержащее обычные числа, бесконечно малые и бесконечно большие, — и подчиняющееся всем тем же законам, какие записываются на языке первого порядка.

После этого $f'(x)$ буквально есть отношение приращений, а определение непрерывности читается как «бесконечно близкие точки переходят в бесконечно близкие». Триста лет выкладок, которые считались эвристикой, оказались корректными рассуждениями в другой модели.

Робинсон писал, что теперь идеи Лейбница о бесконечно малых могут быть оправданы полностью. Заметим, что перед нами не «правильная» и «неправильная» картины: анализ можно строить на пределах, а можно на бесконечно малых, и это две согласованные картины одной математики.

Теория моделей

Нестандартный анализ — приложение более общего дела. Робинсон был одним из создателей теории моделей — науки об отношении между формальными языками и структурами, в которых их утверждения истинны. Рядом работали Тарский и Хенкин в Беркли, а в СССР независимо и раньше — Мальцев, приоритет которого признали позже.

Ему же принадлежат теорема Робинсона о совместности, метод форсинга в теории моделей, работы по нестандартной алгебраической теории чисел и — вместе с Алленом Бернстайном — первое применение нестандартных методов к чужой задаче: теорема об инвариантных подпространствах полиномиально компактного оператора.

С 1967 года он работал в Йеле. Умер в 1974 году от рака поджелудочной железы, пятидесяти пяти лет, в разгар работы.