«Аналист»: призраки почивших величин

Книга и её повод

Джордж Беркли (1685–1753) — ирландский философ, автор доктрины субъективного идеализма (esse est percipi, «быть значит быть воспринимаемым»). В 1734 году он был назначен епископом Клойнским; в том же году в Лондоне и Дублине выходит его памфлет:

«The Analyst; or, a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician»
(«Аналист, или Рассуждение, адресованное неверующему математику»)

«Неверующим математиком» современники считали Эдмунда ГаллеяЭдмунд Галлейанглийский астроном, геофизик и математик · 1656–1742Известен кометой, но список его дел неправдоподобен даже по меркам эпохи: каталог южных звёзд, первая метеорологическая карта, первая честная таблица дожития — и «Начала» Ньютона, изданные за его счёт., будто бы отговаривавшего умирающего друга Беркли от церковных таинств.

Мотив Беркли не математический, а полемический. Его аргумент — tu quoque: вы, господа математики, упрекаете религию в опоре на непостижимые тайны; так посмотрите на основания собственной науки. И дальше идёт разбор, который оказался безупречным.

Суть претензии

Возьмём вычисление флюксии $x^{2}$ по НьютонуИсаак Ньютонанглийский математик, физик и астроном · 1643–1727Создатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику..

1. Даём $x$ приращение $o$. Получаем $(x+o)^{2} = x^{2} + 2xo + o^{2}$.
2. Приращение функции: $2xo + o^{2}$.
3. Делим на $o$: $2x + o$. — Здесь мы обязаны считать $o \ne 0$, иначе деление незаконно.
4. Отбрасываем $o$: получаем $2x$. — Здесь мы обязаны считать $o = 0$, иначе отбрасывание незаконно.

Беркли формулирует убийственно: сначала предполагается, что приращения есть; на этом предположении строится вычисление; затем предположение уничтожается — а вывод сохраняется. Так делать нельзя ни в логике, ни в богословии.

И знаменитая фраза о бесконечно малых:

Что такое эти флюксии? Скорости исчезающих приращений. А что такое эти самые исчезающие приращения? Они не суть ни конечные величины, ни величины бесконечно малые, ни даже ничто. Не назвать ли нам их призраками почивших величин?

Второй удар: компенсация ошибок

Беркли идёт дальше и предлагает объяснение того, почему неправильный метод даёт правильные ответы: в вычислении допускаются две ошибки, взаимно уничтожающиеся. Отбрасывая $o^{2}$, мы ошибаемся в одну сторону; принимая секущую за касательную — в другую; ошибки равны и гасят друг друга.

Это неверно как общее объяснение, но по духу поразительно близко к истине: правильный ответ действительно возникает потому, что отброшенное имеет более высокий порядок малости. Не хватает единственного слова — «предел».

Ответы, которые были даны

Автор	Ответ	Оценка
Джеймс Джурин (1734–35)	Флюксии геометрически очевидны; философам не судить	Слабый; переход на личности
Бенджамен Робинс (1735)	Флюксии обосновываются через греческий метод исчерпывания	Разумно, но громоздко
Колин Маклорен, «Treatise of Fluxions» (1742)	Систематическое переизложение всего анализа на языке ЕвдоксаЕвдокс Книдскийгреческий математик и астроном · около 408–355 до н. э.Придумал, как сравнивать несоизмеримые величины, и метод, которым две тысячи лет считали площади, — обе идеи вернулись в XIX веке почти без изменений. и АрхимедаАрхимедгреческий математик, механик и инженер · около 287–212 до н. э.Считал площади и объёмы за девятнадцать веков до интегрального исчисления и оставил письмо, в котором честно рассказал, как он на самом деле догадывался до ответов., с двойным приведением к нелепости	Серьёзный ответ. Логически почти безупречен — и настолько тяжеловесен, что читать невозможно
ДаламберЖан Лерон Даламберфранцузский математик, механик и энциклопедист · 1717–1783Подкидыш с паперти, ставший соредактором «Энциклопедии»; вывел уравнение колеблющейся струны — и начал спор, из которого через сто лет вышло понятие функции., статья «Предел» в «Энциклопедии» (1754)	«Величина есть предел другой, если вторая может приблизиться к первой ближе любой заданной величины»	Правильное направление; но остаётся словесным описанием, без техники

Почему понадобилось девяносто лет

Потому что ответ Беркли требует цепочки, каждое звено которой само по себе — большая работа:

1. Понятие предела с кванторами, а не словами. → Коши 1821, Вейерштрасс 1860-е.
2. Понятие вещественного числа, иначе неясно, к чему предел стремится и почему он существует. → Дедекинд и Кантор, 1872.
3. Теория множеств для построения вещественных чисел. → Кантор.

То есть на вопрос дублинского епископа отвечали КошиОгюстен Луи Кошифранцузский математик · 1789–1857Первым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить., ВейерштрассКарл Вейерштрасснемецкий математик · 1815–1897Пятнадцать лет учительствовал в провинциальной гимназии, а потом переписал анализ на языке $\varepsilon$ и $\delta$ — и предъявил функцию, у которой нигде нет касательной., ДедекиндРихард Дедекинднемецкий математик · 1831–1916Определил действительное число через разрез рационального ряда и научил математику работать с бесконечными множествами как с объектами — сорок лет проработав учителем в родном Брауншвейге. и КанторГеорг Канторнемецкий математик · 1845–1918Показал, что бесконечности бывают разного размера, — и потратил остаток жизни на защиту этого результата от коллег и на попытки доказать одно-единственное утверждение, которое доказать нельзя. — вчетвером и полтора века.

Есть и второй ответ, прямо противоположный: признать бесконечно малые настоящими числами. Он потребовал математической логики XX века и был дан Робинсоном в 1961-м. Забавно, что этот ответ ближе к тому, что имел в виду ЛейбницГотфрид Вильгельм Лейбницнемецкий философ, математик и дипломат · 1646–1716Придумал знаки $d$ и $\int$, которыми мы пишем анализ до сих пор, — и всю жизнь искал язык, на котором спор можно было бы заканчивать словами «посчитаем»., — и что оба ответа оказались верны.

Урок точки

Столетие анализ рос на фундаменте, которого не существовало, — и рос блистательно: небесная механика, гидродинамика, теория упругости, вариационное исчисление. Критика Беркли была абсолютно справедлива и абсолютно бесплодна в краткосрочной перспективе: ни один математик не перестал дифференцировать.

Но она была услышана. Ощущение неблагополучия в основаниях никуда не делось и в конце концов породило самую строгую эпоху в истории математики. Правильный вопрос, заданный не вовремя, всё равно правильный вопрос — он просто ждёт своего инструмента.

Следующая точка: Берлин и Петербург — человек, который вычислял так, будто оснований не требуется вовсе, и почти всегда был прав.