Гротендик: схемы

Человек

Александр Гротендик (1928–2014). Биография такая, что в романе показалась бы избыточной.

Отец — Александр (Саша) Шапиро, русский еврей-анархист, участник революции 1905 года, потерявший руку, прошедший каторгу; погиб в Освенциме в 1942-м. Мать — Ханка Гротендик, немецкая журналистка-анархистка. Ребёнком Александр был оставлен в приёмной семье в Гамбурге, потом воссоединился с матерью во Франции, провёл 1940–42 годы во французском лагере для интернированных в Риекро под Манд.

Учился в Монпелье, где, по собственному рассказу, самостоятельно построил теорию меры и интеграла, не зная о ЛебегеАнри Лебегфранцузский математик · 1875–1941Предложил считать интеграл, разрезая не ось абсцисс, а ось значений, — и получил теорию, в которой предел и интеграл наконец можно менять местами.. В Париже (1948) КартанЭли Картанфранцузский математик · 1869–1951Довёл до порядка классификацию Киллинга, придумал дифференциальные формы и связности — и двадцать лет считался автором работ, которых никто не читал. и Дьёдонне направили его в Нанси; докторская диссертация (1953) по топологическим тензорным произведениям — работа, которая одна обеспечила бы ему место в истории функционального анализа.

Гражданства у него не было: как апатрид он всю жизнь путешествовал по нансеновскому паспорту и отказывался принимать французское, чтобы не служить в армии.

В 1958 году, при основании Института высших научных исследований (IHÉS) в Бюр-сюр-Иветт под Парижем, Гротендик стал его первым математическим профессором. Дальше — двенадцать лет работы, изменившей математику.

Идея: кольцо есть пространство

Всё вырастает из одного наблюдения, восходящего к ГильбертуДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти. (Nullstellensatz) и ГельфандуИзраиль Моисеевич Гельфандсоветский и американский математик · 1913–2009Не окончил школы и университета, стал одним из главных математиков века и полвека вёл семинар, который для Москвы был отдельным учебным заведением. (см. точку о Гельфанде и Наймарке).

Наблюдение. Пусть $X$ — алгебраическое многообразие над алгебраически замкнутым полем, $A=k[X]$ — кольцо функций на нём. Тогда точки $X$ восстанавливаются из $A$: точке $p$ отвечает максимальный идеал $\mathfrak{m}_p$ функций, обращающихся в $p$ в нуль, и это соответствие взаимно однозначно.

Значит, геометрия закодирована в алгебре.

Ход Гротендика. А что если проделать это в обратную сторону — взять произвольное коммутативное кольцо и объявить его кольцом функций на некотором пространстве?

Определение. Спектр кольца $A$:

$$\operatorname{Spec} A = \left\{\text{простые идеалы } A\right\}.$$

Это множество наделяется топологией (Зарисского) и пучком колец. Пара «пространство + пучок» называется аффинной схемой; общая схема склеивается из аффинных, как многообразие из карт.

Почему простые идеалы, а не максимальные? Три причины, каждая содержательная:

1. Функториальность. Прообраз простого идеала при гомоморфизме колец прост; прообраз максимального — не обязательно максимален. Значит, гомоморфизм $A\to B$ даёт отображение $\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$ всегда. Соответствие «кольца ↔ пространства» становится точной двойственностью.
2. Появляются «общие точки». В $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ есть точки $(2),(3),(5),\ldots$ и ещё точка $(0)$, замыкание которой — всё пространство. Это неклассический объект, оказавшийся чрезвычайно полезным: у неприводимого многообразия есть точка, «типичная» для него.
3. Работают все кольца. Не только над полями, не только без нильпотентов, не только конечно порождённые.

Что это даёт

1. Геометрия над $\mathbb{Z}$. Кольцо целых чисел становится пространством:

$$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}=\{(0),(2),(3),(5),(7),(11),\ldots\}$$

— «прямая», точки которой суть простые числа. Отсюда знаменитая аналогия: теория чисел — это геометрия одномерного объекта; уравнение с целыми коэффициентами задаёт «расслоение над $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$», а редукция по модулю $p$ — «слой над точкой $p$».

Это метафора, ставшая техникой. Именно она позволила перенести геометрические методы в теорию чисел — и через тридцать лет привела к доказательству Великой теоремы ФермаПьер Фермафранцузский юрист и математик · 1607–1665Советник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей. (последняя точка файла).

2. Нильпотенты допускаются. Классическая геометрия считала кольцо $k[x]/(x^{2})$ бессмысленным: множество нулей то же, что у $k[x]/(x)$, то есть одна точка. У Гротендика это разные схемы: вторая — точка, первая — «точка с бесконечно малым усиком», формальная окрестность первого порядка.

Так бесконечно малые вернулись в математику в третий раз (после ЛейбницаГотфрид Вильгельм Лейбницнемецкий философ, математик и дипломат · 1646–1716Придумал знаки $d$ и $\int$, которыми мы пишем анализ до сих пор, — и всю жизнь искал язык, на котором спор можно было бы заканчивать словами «посчитаем». и РобинсонаАбрахам Робинсонамериканский математик и логик · 1918–1974Средствами математической логики построил числа, меньшие всякого положительного, но не нулевые, — и задним числом сделал законными триста лет вычислений Лейбница и Эйлера.) — теперь как нильпотентные элементы. Это оказалось ровно тем аппаратом, который нужен для теории деформаций.

3. Относительная точка зрения. Гротендик настаивал, что изучать надо не объекты, а морфизмы. Свойства («гладкость», «собственность», «плоскость») определяются для отображения $X\to S$, а не для $X$. Обычное многообразие — частный случай, морфизм в точку.

Труды

Аббревиатура	Название	Объём
EGA	«Éléments de géométrie algébrique» (с Дьёдонне), 1960–1967	ок. 1800 страниц, четыре тома (из планировавшихся тринадцати)
SGA	«Séminaire de géométrie algébrique», 1960–1969	семь серий, ок. 5000 страниц
FGA	«Fondements de la géométrie algébrique», 1957–1962	доклады семинара БурбакиНиколя Бурбакиколлективный псевдоним группы французских математиков · с 1935 годаМатематик, которого не существует: под этим именем группа французов сорок лет переписывала всю математику с самого начала — и переменила то, как она выглядит на бумаге.
Tôhoku	«Sur quelques points d'algèbre homologique», 1957	абелевы категории; отдельный переворот в гомологической алгебре

Название EGA — сознательная отсылка к «Началам» ЕвклидаЕвклидгреческий математик · около 300 года до н. э.Автор книги, которая две тысячи лет была вторым по тиражу текстом после Библии, — и о котором самом не известно почти ничего. (Éléments). Замысел состоял в том, чтобы переписать основания алгебраической геометрии с нуля, в полной общности, ничего не принимая на веру.

Гипотезы Вейля

Чтобы понять, зачем всё это делалось, нужен конкретный сюжет.

Андре Вейль (1949) высказал гипотезы о числе решений систем уравнений над конечными полями. Пусть $X$ — многообразие над $\mathbb{F}_q$, $N_m$ — число его точек над $\mathbb{F}_{q^{m}}$. Составим дзета-функцию:

$$Z(X,t)=\exp\left(\sum_{m=1}^{\infty}\frac{N_{m}}{m}t^{m}\right).$$

Гипотезы Вейля: $Z$ рациональна; удовлетворяет функциональному уравнению; её нули и полюсы имеют абсолютные значения $q^{-w/2}$ («аналог гипотезы РиманаБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики.»); а степени числителя и знаменателя равны числам БеттиЭнрико Беттиитальянский математик · 1823–1892Ввёл числа, меряющие, сколько в пространстве независимых «дыр» каждой размерности. Пуанкаре назвал их числами Бетти, и под этим именем они стоят в основании алгебраической топологии. соответствующего комплексного многообразия.

Последнее — самое поразительное: топология комплексного многообразия управляет арифметикой над конечным полем.

Вейль сам указал путь: нужна «теория когомологий» для многообразий над конечными полями, аналогичная топологической. Такой теории не существовало.

Гротендик её построил — это этальные когомологии (SGA 4, SGA 5), и ради них, среди прочего, потребовались схемы, топосы, плоские морфизмы и весь аппарат. Первые три гипотезы он доказал; последнюю, самую трудную (аналог гипотезы Римана), доказал его ученик Пьер Делинь в 1974 году, получив за это Филдсовскую медаль 1978-го.

Гротендик, надо сказать, доказательством Делиня был недоволен: он хотел получить результат из «стандартных гипотез» о мотивах, а Делинь обошёл их изобретательным трюком. Спор был скорее эстетическим, но он способствовал отдалению.

Стиль

Гротендик сам описал свой метод сравнением. Есть орех, который надо вскрыть. Можно бить молотком и резцом. А можно погрузить орех в воду и ждать: месяцами, годами, пока скорлупа не размягчится сама, — и тогда достаточно нажать рукой.

Практически это означало: не решать задачу, а строить теорию, в которой задача становится тривиальной. Отсюда чудовищный объём EGA и SGA: тысячи страниц подготовки перед формулировкой результата.

Отсюда же понятия, ставшие общематематическими: абелевы категории, производные категории, топосы, мотивы, алгебраические стеки, «относительная точка зрения», функтор точек.

Формулировка, которую ему приписывают: единственное, что убеждает его в математике, — не результат, а точка зрения, из которой результат очевиден.

Уход

В 1970 году Гротендик покинул IHÉS, обнаружив, что институт частично финансируется министерством обороны. Требование прекратить военное финансирование не было выполнено; он ушёл.

Дальше он практически прекратил заниматься математикой: основал экологическую группу «Survivre et vivre», занялся политикой и пацифизмом, преподавал в Монпелье, написал огромные автобиографические и мистические тексты («Récoltes et semailles», ок. 1500 страниц; «La Clef des Songes»).

В 1988 году отказался от премии Крафорда (эквивалент Нобелевской) с публичным письмом, где, среди прочего, назвал научную среду нечистоплотной. В 1991-м исчез, поселившись в глухой деревне Ласер в Пиренеях, отказавшись от контактов. В 2010 году потребовал изъять все свои труды из обращения — требование, которое математическое сообщество не выполнило.

Умер 13 ноября 2014 года. Оставил около 70 000 страниц рукописей.

Оценка

Гротендик — самая крупная и самая трудная для оценки фигура математики второй половины XX века.

За: он перестроил алгебраическую геометрию так, что она стала центром математики; из его аппарата выросли доказательства гипотез Вейля, МорделлаЛуис Морделлбританский математик · 1888–1972Доказал, что рациональные точки эллиптической кривой образуют конечно порождённую группу, — и высказал гипотезу о том, что на кривых большего рода таких точек конечное число. Гипотезу доказали через шестьдесят… (ФальтингсГерд Фальтингснемецкий математик · род. 1954Доказал гипотезу Морделла: у кривой рода не меньше двух рациональных точек конечное число. Заодно доказал ещё две крупные гипотезы, о которых его не просили. Профессором стал в двадцать восемь лет., 1983), Великой теоремы Ферма (УайлсЭндрю Уайлсбританский математик · род. 1953Семь лет работал в одиночку и в тайне, доказал теорему Ферма — и через два месяца после объявления обнаружил в доказательстве дыру, на закрытие которой ушёл ещё год., 1994), программа ЛенглендсаРоберт Ленглендсамерикано-канадский математик · род. 1936Написал от руки семнадцать страниц с предположением о связи теории чисел и анализа — и с оговоркой, что если это чепуха, у адресата есть корзина для бумаг. Из письма выросла программа, которую называют великой…. Филдсовская медаль 1966 года (получать не поехал — в Москву, в знак протеста против преследования диссидентов).

Против (позиция, которую высказывали, в частности, АрнольдВладимир Игоревич Арнольдсоветский и российский математик · 1937–2010Девятнадцатилетним студентом решил тринадцатую проблему Гильберта, потом достроил теорию КАМ, а всю остальную жизнь спорил с тем, как принято излагать математику, — и написал учебники, по которым учатся до сих… и отчасти Атья): чрезмерная абстракция, отрыв от задач, культ общности ради общности, порождение литературы, которую невозможно читать.

Взвешенно: абстракция Гротендика была не самоцелью, а работающим инструментом — она давала теоремы, которых иначе не получалось. Но метод требует таланта автора и с трудом передаётся; тысячи страниц EGA прочли немногие.

Соседние точки: Гильберт, Nullstellensatz → Дедекинд, идеалы → Бурбаки → Гротендик; связана с точкой о Серре.