Владимир Игоревич Арнольд

Девятнадцатилетним студентом решил тринадцатую проблему Гильберта, потом достроил теорию КАМ, а всю остальную жизнь спорил с тем, как принято излагать математику, — и написал учебники, по которым учатся до сих пор.

Арнольд был человеком с позицией по всякому поводу, и позицию эту излагал резко. Спорить с ним было тяжело; читать его — удовольствие, какого математическая проза почти не даёт.

Тринадцатая проблема

Родился в 1937 году в Одессе, вырос в Москве. Студентом попал к Колмогорову — и на третьем курсе получил результат, за который берутся не всякий раз и в зрелом возрасте.

Тринадцатая проблема Гильберта: можно ли решение уравнения седьмой степени выразить через функции двух переменных? Гильберт думал, что нельзя. Колмогоров в 1956 году показал, что всякая непрерывная функция многих переменных представима суперпозицией функций трёх переменных; девятнадцатилетний Арнольд через год довёл до двух, а Колмогоров следом — до одной переменной и сложения.

Итоговая теорема Колмогорова — Арнольда: всякая непрерывная функция $n$ переменных есть сумма композиций непрерывных функций одной переменной. Гильбертова догадка оказалась неверной — по крайней мере в непрерывной постановке. (Занятно, что через полвека эта теорема всплыла в машинном обучении как обоснование одной из архитектур нейросетей.)

КАМ

Второе — теория КАМ, названная по первым буквам фамилий Колмогорова, Арнольда и Мозера.

Вопрос — об устойчивости Солнечной системы, оставленный Пуанкаре открытым: он показал, что ряды теории возмущений расходятся, и общий вывод сделали мрачный — условно-периодические движения разрушаются любым возмущением.

Колмогоров в 1954 году заявил обратное: большинство торов уцелевает. Доказательства он не опубликовал; строгие доказательства дали Арнольд (для гамильтоновых систем, 1963) и Мозер (для гладкого случая).

Геометрия ответа поразительна: уцелевшие торы образуют множество, дырявое как канторово, но занимающее почти всю меру. Арнольду же принадлежит диффузия Арнольда — механизм медленного ухода траекторий по щелям между торами, единственный способ системе всё-таки развалиться.

Дальше

Список областей, где у него есть первые результаты, длинен: теория особенностей (классификация особенностей ADE, лагранжевы и лежандровы особенности), топология алгебраических функций, теория катастроф, симплектическая геометрия и гипотеза Арнольда о числе неподвижных точек симплектоморфизма — из неё выросли гомологии Флоера, гидродинамика идеальной жидкости как геодезический поток на группе диффеоморфизмов, вещественная алгебраическая геометрия (шестнадцатая проблема Гильберта).

Спор

Отдельная его жизнь — публицистическая. Арнольд последовательно воевал с «бурбакистским» стилем: с изложением от общего к частному, без картинок, без задач, без физики. Математика для него — часть естествознания, экспериментальная наука, в которой эксперимент дёшев; определение без примера бессмысленно; «новая математика» в школе — катастрофа.

Учебники его — «Математические методы классической механики», «Обыкновенные дифференциальные уравнения», «Теория катастроф» — написаны ровно так, как он проповедовал, и по ним учатся до сих пор.

Премия Вольфа 2001 года. Филдсовской медали 1974 года он не получил: советская сторона кандидатуру не поддержала. Умер в 2010 году в Париже, за девять дней до семидесятитрёхлетия.

Точки на карте

Где имя встречается в статьях: сначала точки, где этот человек — главный герой, дальше по хронологии.