Ковалевская: волчок и премия Бордена

Задача

Тяжёлое твёрдое тело закреплено в одной точке и вращается под действием силы тяжести — задача о волчке. Уравнения движения (ЭйлераЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя. — ПуассонаСимеон Дени Пуассонфранцузский математик, механик и физик · 1781–1840Его именем названы уравнение, скобка, формула суммирования и распределение — причём распределение он считал у себя второстепенной технической деталью. Известен и тем, что отверг рукопись Галуа.) в системе координат, связанной с телом:

$$ \begin{aligned} A\dot p&=(B-C)qr+Mg\left(y_{0}\gamma_{3}-z_{0}\gamma_{2}\right),\\ B\dot q&=(C-A)rp+Mg\left(z_{0}\gamma_{1}-x_{0}\gamma_{3}\right),\\ C\dot r&=(A-B)pq+Mg\left(x_{0}\gamma_{2}-y_{0}\gamma_{1}\right), \end{aligned} \qquad \dot{\boldsymbol\gamma}=\boldsymbol\gamma\times\boldsymbol\omega . $$

Здесь $A,B,C$ — главные моменты инерции, $(p,q,r)$ — угловая скорость, $\boldsymbol\gamma$ — единичный вектор вертикали, записанный в осях тела, $(x_0,y_0,z_0)$ — центр масс.

Шесть уравнений, и три первых интеграла известны всегда:

$$\underbrace{\tfrac12(Ap^{2}+Bq^{2}+Cr^{2})+Mg(x_0\gamma_1+y_0\gamma_2+z_0\gamma_3)}_{\text{энергия}},\qquad \underbrace{Ap\gamma_1+Bq\gamma_2+Cr\gamma_3}_{\text{момент относительно вертикали}},\qquad \underbrace{\gamma_1^2+\gamma_2^2+\gamma_3^2=1}_{\text{геометрия}} .$$

Для полной интегрируемости по ЛиувиллюЖозеф Лиувилльфранцузский математик · 1809–1882Первым предъявил трансцендентное число — построил его, а не доказал, что такие «должны существовать». И спас Галуа: разобрал рукописи, четырнадцать лет пролежавшие без движения, и напечатал их. не хватает четвёртого интеграла. К 1888 году было известно ровно два случая, когда он есть:

• Эйлер (1758): центр масс совпадает с точкой закрепления — тяжести нет вовсе; четвёртый интеграл — квадрат момента импульса;
• ЛагранжЖозеф Луи Лагранжфранцузский математик и механик итальянского происхождения · 1736–1813Написал механику без единого чертежа, довёл до конца всё, что начали Эйлер и Ферма, и первым понял, что решаемость уравнения зависит от перестановок его корней. (1788): тело симметрично ($A=B$), а центр масс лежит на оси симметрии — «юла»; четвёртый интеграл — проекция момента на ось тела.

Дальше сто лет ничего.

Что нашла Ковалевская

Софья Васильевна Ковалевская (1850–1891) подошла к задаче с неожиданной стороны. Вместо того чтобы угадывать интеграл, она поставила вопрос об аналитических свойствах решения как функции комплексного времени: при каких $A,B,C,x_0,y_0,z_0$ решение является однозначной мероморфной функцией $t$ при любых начальных данных?

Условие оказалось жёстким, и кроме двух известных случаев нашёлся ровно один новый:

$$A=B=2C,\qquad z_{0}=0 .$$

То есть тело сплюснуто определённым образом, а центр масс лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции. Нормировав $A=B=2$, $C=1$ и обозначив $c_{0}=Mgx_{0}$, она предъявила четвёртый интеграл:

$$K=\left(p^{2}-q^{2}+c_{0}\gamma_{1}\right)^{2}+\left(2pq+c_{0}\gamma_{2}\right)^{2}=\mathrm{const}.$$

Компактнее — в комплексной записи: $\left|(p+iq)^{2}+c_{0}(\gamma_{1}+i\gamma_{2})\right|^{2}$. Интеграл квадратичен по угловым скоростям, и угадать его перебором практически невозможно — он найден именно из требования однозначности.

Дальше Ковалевская проинтегрировала систему в гиперэллиптических функциях двух переменных: движение волчка оказывается условно-периодическим и разворачивается на двумерном комплексном торе (якобиане кривой рода 2). Работа занимает около девяноста страниц и считается технически одной из самых трудных в механике XIX века.

Премия

Парижская академия наук объявила конкурс на премию Бордена по теме вращения твёрдого тела. Работы подавались анонимно, под девизами; девиз Ковалевской: «Говори, что знаешь; делай, что должен; будь, чему быть». Из пятнадцати поданных сочинений жюри выбрало её — и, вскрыв конверт, приняло беспрецедентное решение: увеличить премию с 3000 до 5000 франков ввиду исключительности работы. Награждение состоялось 24 декабря 1888 года.

Через год Стокгольмский университет предоставил ей пожизненную профессорскую кафедру — она стала первой женщиной-профессором математики в Северной Европе (и третьей в истории после Марии Аньези и Лауры Басси). В России кафедры для неё не нашлось: Академия наук в 1889 году избрала её членом-корреспондентом, но правило, запрещавшее женщинам присутствовать на заседаниях, отменять не стали. Отсюда положение этой точки на карте: русская математика, стоящая в Швеции.

Умерла Ковалевская в феврале 1891 года от воспаления лёгких, сорока одного года от роду.

Почему это точка линии геометрии

Задача о волчке выглядит механической. Но её содержание — геометрическое, и именно в том смысле, который эта линия прослеживает.

Интегрируемость есть утверждение о форме фазового пространства. Теорема Лиувилля — АрнольдаВладимир Игоревич Арнольдсоветский и российский математик · 1937–2010Девятнадцатилетним студентом решил тринадцатую проблему Гильберта, потом достроил теорию КАМ, а всю остальную жизнь спорил с тем, как принято излагать математику, — и написал учебники, по которым учатся до сих… говорит: если у системы с $n$ степенями свободы есть $n$ независимых интегралов «в инволюции», то траектории лежат на $n$-мерных торах, а движение по ним равномерно. Найти четвёртый интеграл — значит обнаружить, что запутанное движение на самом деле есть обмотка тора. Поиск интегралов — это поиск скрытой геометрической структуры, и линия ещё вернётся к нему в точке о КАМ-теории.

Метод Ковалевской стал геометрическим тестом. Требование «решение однозначно в комплексной плоскости времени» после работ Пенлеве превратилось в тест Пенлеве на интегрируемость, а показатели, возникающие при анализе особенностей, называются сегодня показателями Ковалевской. В 1970–80-е годы этот тест был одним из главных инструментов при поиске интегрируемых систем в теории солитонов — и, замыкая круг, привёл к работам ленинградской школы и квантовым группам.

Список оказался полным. А. М. ЛяпуновАлександр Михайлович Ляпуноврусский математик и механик · 1857–1918Дал точное определение устойчивости движения и способ её проверять без решения уравнений; он же первым строго доказал центральную предельную теорему. в 1894 году доказал: других случаев, где решение однозначно при всех начальных условиях, нет. Эдуар Юссон в 1906-м показал, что нет и других случаев с дополнительным алгебраическим интегралом. Три случая — Эйлера, Лагранжа, Ковалевской — исчерпывают задачу. Это редкая ситуация, когда классическая механика доведена до полной классификации, и последнюю точку в ней поставила именно эта работа.

За пределами волчка Ковалевской принадлежит теорема КошиОгюстен Луи Кошифранцузский математик · 1789–1857Первым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить. — Ковалевской (1875) о существовании и единственности аналитического решения задачи Коши для уравнений в частных производных — фундаментальный результат, входящий сегодня в любой курс, — и работы о форме колец Сатурна, где она уточнила результат ЛапласаПьер-Симон Лапласфранцузский математик, астроном и физик · 1749–1827Свёл небесную механику в пять томов, а теорию вероятностей — в один, и на полтора столетия задал образ мира, в котором будущее вычисляется из настоящего..

Задача. Проверьте, что в случае Эйлера ($x_0=y_0=z_0=0$) четвёртым интегралом служит $A^{2}p^{2}+B^{2}q^{2}+C^{2}r^{2}$, и объясните геометрически: почему при отсутствии тяжести конец вектора момента импульса в осях тела движется по пересечению эллипсоида энергии со сферой момента? (Это построение Пуансо — самая наглядная картинка классической механики.)

Следующая точка: Петербург — где симметрии узоров пересчитают до конца и получат список, длиннее которого не бывает.