Александр Михайлович Ляпунов

Слово «устойчивость» до Ляпунова означало примерно то же, что «прочность» или «надёжность»: интуитивно понятно, математически никак. После него это термин с определением, и определение работает больше века.

Харьков

Родился в 1857 году в Ярославле, в семье астронома. Учился в Петербургском университете у Чебышёва — вместе с Марковым, Коркиным, Золотарёвым, Вороным; это то самое поколение, из которого выросла петербургская математическая школа.

Чебышёв дал ему задачу о фигурах равновесия вращающейся жидкости — вопрос о форме небесных тел. Задача оказалась настолько трудной, что Ляпунов возвращался к ней всю жизнь; побочным результатом стала магистерская диссертация, а главным — докторская.

С 1885 года он в Харькове: сперва приват-доцент, потом профессор. Там же в 1892 году защищена «Общая задача об устойчивости движения».

Что такое устойчивость

Определение Ляпунова: положение равновесия устойчиво, если для всякой окрестности найдётся окрестность поменьше, откуда траектория из неё уже не выйдет. Асимптотически устойчиво — если вдобавок притягивает.

Дальше — два метода проверки.

Первый метод: линеаризовать систему около равновесия и посмотреть на собственные значения. Если все с отрицательной вещественной частью — устойчиво; если хоть одно с положительной — нет. Случай чисто мнимых остаётся нерешённым, и это не изъян изложения, а существо дела: там всё решают члены высшего порядка.

Второй метод — тот, ради которого работу помнят. Строится функция Ляпунова $V$: положительная, обращающаяся в нуль только в равновесии, и такая, что вдоль траекторий она не растёт. Если такая функция нашлась — движение устойчиво, и уравнения решать не нужно.

Это ход огромной силы. Дифференциальные уравнения в общем случае не решаются; вопрос об устойчивости при этом решается — надо лишь угадать подходящую $V$. Физически $V$ обычно есть энергия или что-то на неё похожее, и метод оказывается формализацией старой мысли «система скатывается туда, где энергия меньше».

Из этого выросло всё: теория грубых систем Андронова и Понтрягина, нелинейная механика Крылова и Боголюбова, теория управления, показатели Ляпунова в теории хаоса.

Центральная предельная теорема

Вторая его тема — вероятность. К концу XIX века центральную предельную теорему знали и применяли со времён Лапласа, но условий, при которых она верна, никто точно не выписал.

В 1900–1901 годах Ляпунов доказал её строго — методом характеристических функций, который сам же и ввёл в оборот. Условие Ляпунова: если для некоторого $\delta>0$ отношение суммы абсолютных моментов порядка $2+\delta$ к соответствующей степени дисперсии стремится к нулю, то нормировка суммы сходится к нормальному закону.

Правило трёх поколений одной кафедры: Чебышёв — Марков и Ляпунов — их ученики. Предельные теоремы из наблюдения превратились в теоремы именно здесь.

Одесса

С 1902 года он академик, живёт в Петербурге. В 1917-м из-за болезни жены уехал в Одессу. Она умерла от туберкулёза 31 октября 1918 года; в тот же день Ляпунов выстрелил себе в голову и умер через три дня, не приходя в сознание.