Крылов и Боголюбов: нелинейная механика

Двое

Николай Митрофанович Крылов (1879–1955) — академик, специалист по приближённым методам, к началу 1930-х уже человек с именем. Николай Николаевич Боголюбов (1909–1992) — его ученик с четырнадцати лет; высшего образования в обычном смысле у него нет вовсе: он поступил сразу в аспирантуру Крылова в пятнадцать и защитил кандидатскую в семнадцать.

Вместе в Киеве, при Академии наук Украинской ССР, они создали то, что сами назвали нелинейной механикой — дисциплину о колебаниях систем, для которых линейное приближение недостаточно. Итог оформлен книгой «Введение в нелинейную механику» (1937), а рабочий инструмент — метод усреднения Крылова — Боголюбова — до сих пор стоит в курсах теории колебаний.

Ровно в те же годы и над тем же кругом задач работает школа Андронова в Горьком. Это не совпадение, а общий фронт: устойчивость и качественное поведение нелинейных систем в 1930-е занимали всех, от радиотехники до небесной механики.

Нас здесь интересует не метод усреднения, а побочный результат, который оказался важнее.

Задача

Эргодическая теория к 1932 году уже имела свои главные теоремы. Фон Нейман доказал эргодическую теорему в среднем (1932), Биркгоф — индивидуальную, почти всюду (1931). Обе говорят примерно одно:

среднее значение величины вдоль траектории равно её среднему по пространству.

Именно этим оправдывается вся статистическая физика: измеряя прибором долгое временное среднее, мы получаем то, что теория считает как среднее по ансамблю.

Но у обеих теорем есть предпосылка, о которой в физике не думали: должна существовать инвариантная мера — распределение на фазовом пространстве, не меняющееся под действием динамики. В классической механике она есть даром: теорема ЛиувилляЖозеф Лиувилльфранцузский математик · 1809–1882Первым предъявил трансцендентное число — построил его, а не доказал, что такие «должны существовать». И спас Галуа: разобрал рукописи, четырнадцать лет пролежавшие без движения, и напечатал их. даёт сохранение фазового объёма, и мерой служит сам объём.

А если система не гамильтонова? Если это уравнение колебаний с трением, или популяционная модель, или произвольное непрерывное отображение? Тогда никакой физики за спиной нет, и не с чего начинать: эргодические теоремы говорят о мере, которой может не быть.

Теорема

Теорема Крылова — Боголюбова (1937). Пусть $X$ — компактное метрическое пространство, $T:X\to X$ — непрерывное отображение. Тогда существует борелевская вероятностная мера $\mu$ на $X$, инвариантная относительно $T$: $\mu(T^{-1}A)=\mu(A)$ для всех борелевских $A$.

Никаких условий, кроме компактности и непрерывности. Динамика может быть какой угодно.

Доказательство укладывается в абзац, и его стоит привести целиком — оно образцово показывает, как теория меры Колмогорова, которой к тому моменту четыре года, становится рабочим инструментом.

Возьмём любую вероятностную меру $\mu_{0}$ — хоть точечную, сосредоточенную в одной точке $x_{0}$. Она, разумеется, не инвариантна. Усредним её по времени:

$$\mu_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}T^{k}_{*}\mu_{0},$$

где $T_{*}$ — перенос меры отображением. Для точечной $\mu_0$ это просто равномерное распределение по первым $n$ точкам траектории.

Пространство вероятностных мер на компакте само компактно в слабой топологии (теорема РиссаФридьеш Риссвенгерский математик · 1880–1956Построил пространства функций, в которых предел ведёт себя как в обычном пространстве, и первым описал линейные функционалы через интеграл. о представлении плюс теорема БанахаСтефан Банахпольский математик · 1892–1945Дал функциональному анализу аксиомы и имя, а математике — образ школы, работающей в кафе за столиком с мраморной столешницей. — Алаоглу). Значит, у последовательности $\mu_{n}$ есть сходящаяся подпоследовательность; пусть $\mu_{n_{j}}\to\mu$.

Осталось заметить, что

$$T_{*}\mu_{n}-\mu_{n}=\frac{1}{n}\left(T^{n}_{*}\mu_{0}-\mu_{0}\right),$$

и справа стоит разность двух вероятностных мер, делённая на $n$, то есть нечто, стремящееся к нулю. Переходя к пределу по подпоследовательности, получаем $T_{*}\mu=\mu$. $\blacksquare$

Приём — усреднить по времени и воспользоваться компактностью — с тех пор повторён в математике сотни раз. Здесь он применён к пространству мер, и это принципиально: объектом, к которому применяется компактность, служит не точка и не функция, а распределение.

Что это изменило

До 1937 года эргодическая теория была главой статистической физики: она работала там, где мера дана физикой. После — стала разделом математики, применимым к любой динамической системе.

Практическое следствие видно всюду, где сегодня говорят о хаосе: странный аттрактор, распределение времени пребывания, показатели ЛяпуноваАлександр Михайлович Ляпуноврусский математик и механик · 1857–1918Дал точное определение устойчивости движения и способ её проверять без решения уравнений; он же первым строго доказал центральную предельную теорему., размерность аттрактора — всё это утверждения об инвариантной мере, и все они опираются на то, что она существует.

Честная оговорка, без которой картина неполна. Теорема даёт существование и ничего не говорит о единственности. Инвариантных мер, как правило, бесконечно много: всякая периодическая орбита несёт свою. Вопрос, какая из них описывает то, что мы реально наблюдаем, — отдельный и куда более трудный; ответ на него — меры Синая — Рюэля — Боуэна, появившиеся в 1970-е. Крылов и Боголюбов дали фундамент, а не здание.

Почему точка в этой линии

Формально это работа по механике. По существу — момент, когда язык теории вероятностей начинает применяться к системам, в которых нет никакой случайности: отображение $T$ полностью детерминировано, а описывается вероятностной мерой.

Это тот же ход, что и у БернштейнаСергей Натанович Бернштейнрусский и советский математик · 1880–1968Доказал теорему Вейерштрасса о приближении, предъявив многочлены явно — и построив их из вероятностного рассуждения; первым в мире предложил аксиоматику теории вероятностей. с многочленами (Бернштейн), и он же повторится в этой линии дважды: у КолмогороваАндрей Николаевич Колмогороврусский и советский математик · 1903–1987Дал вероятности аксиомы, турбулентности — закон, сложности — определение, а школьной математике в СССР — программу, по которой учились миллионы. с турбулентностью и потом у всех, кто считает хаотические системы. Вероятность из науки о случае превращается в язык описания сложного — способ говорить о системе, которую невозможно проследить в деталях, но чьё статистическое поведение устойчиво.

Боголюбов ушёл дальше в ту же сторону: цепочка уравнений Боголюбова (1946) выводит кинетические уравнения статистической физики из механики многих частиц через иерархию корреляционных функций. Позже — Дубна, квантовая теория поля, теорема об острие клина. Он появляется на этой карте ещё раз, но уже в другой линии.

Следующая точка: Москва, 1933 — где вероятность наконец получит определение, которым здесь пользовались авансом.