Карта → событие
Колмогоров: турбулентность и закон пяти третей
Задача, перед которой сдалась механика
Течение вязкой жидкости описывается уравнениями Навье — СтоксаДжордж Габриэль СтоксВывел уравнения движения вязкой жидкости, которые полтора века спустя стали одной из семи Проблем тысячелетия. Занимал кембриджскую кафедру Ньютона пятьдесят четыре года., выписанными ещё в первой половине XIX века. При малых скоростях они дают гладкие предсказуемые решения. При больших — течение распадается на вихри, вихри на более мелкие, и никакого способа выписать решение нет: ни аналитического, ни (как выяснится позже) вычислительного.
Оценим, насколько безнадёжно. Число степеней свободы турбулентного потока растёт как $\mathrm{Re}^{9/4}$, где $\mathrm{Re}$ — число Рейнольдса. Для атмосферного течения $\mathrm{Re}\sim10^{7}$, и это даёт порядка $10^{16}$ независимых величин. Прямой расчёт невозможен не по бедности техники, а по порядку величины.
Ход Колмогорова: перестать искать решение и начать описывать статистику. Не «какова скорость в точке», а «каково распределение разностей скоростей на расстоянии $r$». Поле скоростей объявляется случайным полем, и предметом становятся его моменты.
Это второй раз в истории, когда физика отказывается от траектории в пользу распределения. Первый — статистическая механика Больцмана и Гиббса. Разница в том, что там случайность вводилась из-за огромного числа молекул, а здесь — при полностью детерминированном уравнении и вполне обозримом числе вихрей.
Каскад
Опорный образ дал Льюис Фрай Ричардсон в 1922 году, и лучше него не сказано:
У больших вихрей есть вихри поменьше, которые кормятся их скоростью, а у тех — свои, и так далее до вязкости.
Энергия вкачивается на большом масштабе $L$ (размер трубы, лопасти, горного хребта), передаётся вниз по каскаду без потерь и рассеивается в тепло только на самом мелком масштабе, где вязкость наконец берёт своё.
Обозначим $\varepsilon$ — скорость диссипации энергии на единицу массы. Ключевое наблюдение: в установившемся режиме $\varepsilon$ есть одновременно и скорость подвода энергии сверху, и скорость её передачи через любой промежуточный масштаб. Одно число проходит через весь каскад.
Гипотезы 1941 года и вывод в три строки
Колмогоров предположил, что в инерционном интервале — на масштабах $r$, много меньших $L$, но много больших вязкого масштаба, — статистика разностей скоростей универсальна и зависит только от двух величин: от $\varepsilon$ и от самого $r$. Ни размер трубы, ни способ подвода энергии, ни вязкость в этот интервал не заглядывают.
Дальше — анализ размерностей, и его можно проделать вслух.
$$[\varepsilon]=\frac{\text{м}^{2}}{\text{с}^{3}},\qquad [r]=\text{м}.$$
Ищем величину размерности квадрата скорости, $\text{м}^{2}/\text{с}^{2}$. Единственная комбинация:
$$\left(\varepsilon r\right)^{2/3}.$$
Значит, для структурной функции второго порядка
$$S_{2}(r)=\left\langle\left(u(x+r)-u(x)\right)^{2}\right\rangle=C\left(\varepsilon r\right)^{2/3}.$$
Это закон двух третей. Переписанный в терминах спектра — то есть через преобразование ФурьеЖозеф ФурьеУтверждал, что любую функцию можно сложить из синусов, — и был не прав ровно настолько, чтобы математике понадобилось сто лет и три новые теории, чтобы разобраться. корреляционной функции, ровно по словарю предыдущей точки (29, ХинчинАлександр Яковлевич ХинчинДал теории случайных процессов язык, на котором с тех пор говорят обработка сигналов и анализ временных рядов, — и написал книгу, в которой теоремы Шеннона впервые доказаны математически строго.), — он превращается в
$$E(k)=C_{K}\,\varepsilon^{2/3}k^{-5/3}$$
— закон пяти третей, с постоянной Колмогорова $C_{K}\approx1{,}5$, измеренной впоследствии тысячи раз.
Масштаб, на котором каскад обрывается, тем же способом:
$$\eta=\left(\frac{\nu^{3}}{\varepsilon}\right)^{1/4}$$
— колмогоровский масштаб. В атмосфере это доли миллиметра. Отношение $L/\eta\sim\mathrm{Re}^{3/4}$ и даёт ту самую оценку $\mathrm{Re}^{9/4}$ на число степеней свободы, с которой мы начали.
Три коротких заметки в «Докладах Академии наук» за 1941 год — январская о локальной структуре турбулентности, февральская о вырождении изотропной турбулентности и апрельская о рассеянии энергии — содержат всё это.
Одна теорема среди гипотез
Сказанное выше — гипотезы. Из уравнений Навье — Стокса они не выведены и по сей день.
Но одно точное утверждение Колмогоров получил, и оно единственное в своём роде:
Закон четырёх пятых. Для однородной изотропной турбулентности в инерционном интервале
$$\left\langle\left(\delta u_{\parallel}\right)^{3}\right\rangle=-\frac{4}{5}\,\varepsilon r,$$
где $\delta u_{\parallel}$ — продольная разность скоростей.
Это следствие уравнений Навье — Стокса, а не гипотеза о подобии; во всей теории турбулентности других точных нетривиальных результатов, по существу, нет. Знак минус содержателен: он означает, что энергия течёт вниз по каскаду, от крупных вихрей к мелким, а не наоборот.
Пятеро в разных странах
Отдельно стоит того, чтобы отметить: в те же военные годы к тому же закону независимо пришли Обухов, ученик Колмогорова (1941, спектральная форма), Онсагер (1945), Гейзенберг и фон Вайцзеккер (1948). Связи между странами не было; один и тот же показатель $-5/3$ был получен пять раз.
Такое случается, когда результат не изобретают, а находят.
Что оказалось не так
Уже в 1944 году Ландау сделал возражение, которое вошло в примечание к «Механике сплошных сред» и оказалось точным. Колмогоров считает $\varepsilon$ величиной постоянной, а она флуктуирует в пространстве: диссипация в турбулентном потоке сосредоточена в тонких нитях и слоях, а не размазана равномерно. Это явление называют перемежаемостью.
Колмогоров ответил на возражение через двадцать один год — уточнением 1962 года, где $\varepsilon$ считается логарифмически нормально распределённой.
Современное состояние дел честнее изложить так. Показатели структурных функций
$$S_{p}(r)\sim r^{\zeta_{p}}$$
по теории 1941 года должны равняться $\zeta_{p}=p/3$. Измерения дают $\zeta_{2}\approx0{,}70$ вместо $0{,}667$ — то есть сам закон двух третей держится превосходно; но с ростом $p$ отклонения растут, и для старших моментов теория 1941 года заметно неверна. Причина — та самая перемежаемость, и точной теории для неё нет до сих пор.
Так что перед нами редкий случай: закон, который уже восемьдесят лет знают неверным в общем виде и продолжают пользоваться в частном, потому что в частном он верен с точностью до процентов.
Куда это ушло
Прогноз погоды и климатические модели (турбулентность приходится моделировать — считать её напрямую нельзя), аэродинамика, астрофизика межзвёздной среды, перемешивание в океане, рассеяние радиосигнала в атмосфере, качество изображения в телескопах — везде, где считают турбулентный перенос, считают по колмогоровским масштабам.
И обратная связь с математикой. Уравнения Навье — Стокса в трёх измерениях остаются задачей тысячелетия: неизвестно даже, существует ли у них гладкое решение при всех временах. Ольга Ладыженская закрыла двумерный случай в 1959-м и объяснила, почему трёхмерный не поддаётся (Ладыженская). Забавная расстановка сил: уравнение не поддаётся до сих пор, а статистика его решений описана в 1941 году — и описана настолько хорошо, что ею пользуются инженеры.
Год
1941-й в этой линии стоит дважды подряд. В соседней точке (30) ТьюрингАлан ТьюрингОпределил, что значит «вычислить», за десять лет до появления компьютеров, взломал «Энигму» и был осуждён за то, кем он был. в Блетчли-парке складывает логарифмы отношений правдоподобия, взламывая «Энигму». Здесь Колмогоров в Москве выводит закон пяти третей — и одновременно занимается баллистикой: рассеиванием артиллерийских снарядов и оптимальным построением огня.
Двое лучших вероятностников своего поколения в один год применяют теорию к предметам, максимально далёким от игральной кости, — к шифру и к воздуху. Из вежливой науки о шансах в азартной игре вероятность окончательно стала способом обращаться с любым незнанием, и произошло это, как обычно и бывает, потому что понадобилось.
Следующая точка: Нагоя, 1942 — где случайность из описания сделается исчислением.