Александр Яковлевич Хинчин

Хинчина знают по формулам, стоящим в чужих учебниках: закон повторного логарифма в теории вероятностей, формула Леви — Хинчина в теории распределений, теорема Винера — Хинчина в радиотехнике, формула Хинчина в теории массового обслуживания. Общего между ними меньше, чем кажется, и это характерно.

Лузитания

Родился в 1894 году в селе Кондрово Калужской губернии, в семье инженера. Учился в Московском университете — и попал в «Лузитанию», школу Николая Лузина, откуда вышло целое поколение: Александров, Урысон, Суслин, Меньшов, Колмогоров, П. С. Новиков.

Начинал он, как все лузинцы, с теории функций действительного переменного — и первым в этой школе перешёл к вероятности, за несколько лет до Колмогорова. В юности, впрочем, он писал стихи и всерьёз занимался театром; профессиональные литераторы отзывались о нём одобрительно.

Стационарные процессы

Главная его работа — 1934 года, «Korrelationstheorie der stationären stochastischen Prozesse».

Задача такая. Есть случайный процесс — шум в приёмнике, колебание курса, скорость ветра. Он стационарен: статистические свойства не меняются со временем. Что можно о нём сказать?

Хинчин показывает: всё существенное содержится в корреляционной функции $B(\tau)$ — среднем произведении значений, разделённых промежутком $\tau$. И доказывает главное:

Теорема Винера — Хинчина. Корреляционная функция стационарного процесса и его спектральная плотность — пара преобразований Фурье.

Иначе говоря, «как процесс помнит своё прошлое» и «из каких частот он состоит» — это одно и то же, записанное двумя способами. На этом стоит вся обработка сигналов: спектральный анализ, фильтрация, оценка спектра по выборке.

Двойное имя — потому что Норберт Винер в «Обобщённом гармоническом анализе» (1930) получил ту же связь для отдельных функций, без всякой вероятности.

Годом раньше, в соседнем кабинете, Колмогоров дал вероятности аксиоматику; работа Хинчина — вторая половина того же дела, для класса процессов, оказавшегося главным в приложениях.

Что ещё

Закон повторного логарифма (1924): уточнение закона больших чисел, описывающее, как именно колеблется сумма случайных величин — с точностью до множителя $\sqrt{2n\ln\ln n}$. Формулировка, в которой дважды взят логарифм, выглядит вычурной и другой быть не может.

Формула Леви — Хинчина — полное описание безгранично делимых распределений; из неё выросли устойчивые законы с тяжёлыми хвостами, которыми потом занялся Мандельброт.

Теория массового обслуживания: формула Хинчина — Полячека для очереди, работы о потоках событий.

Книги. «Математические основания статистической механики» (1943) и «Математические основания теории информации» (1953–1956) — в последней теоремы Шеннона, написанные физиком для инженеров, впервые доказаны строго. Обе переведены и переиздаются.

Работал в Московском университете и в Математическом институте имени Стеклова, много занимался школьным преподаванием и писал для школьников — «Три жемчужины теории чисел» и «Цепные дроби» до сих пор в списках для кружков.

Умер в 1959 году в Москве.