Жозеф Лиувилль

Лиувилль сделал две вещи, из которых первую помнят все математики, а вторую — все, кто знает историю Галуа. И, помимо этого, почти сорок лет издавал журнал, в котором печаталась половина французской математики века.

Париж

Родился в 1809 году в Сент-Омере, в семье офицера наполеоновской армии. Учился в Политехнической школе — у Ампера и Араго, — потом в Школе мостов и дорог. С 1831 года преподавал в Политехнической, с 1838-го занимал там кафедру анализа и механики, с 1851-го — кафедру в Коллеж де Франс. В Академию наук избран в 1839 году, тридцати лет.

Работ у него около четырёхсот, и они разбросаны широко: теория чисел, комплексный анализ, дифференциальные уравнения, дифференциальная геометрия, механика, математическая физика.

Трансцендентные числа

К 1840-м годам было известно, что бывают числа алгебраические (корни многочленов с целыми коэффициентами) и что $\pi$ и $e$, по-видимому, не таковы. Доказать, что хоть одно неалгебраическое число существует, не умел никто.

Лиувилль в 1844 году закрыл вопрос конструктивно. Ход рассуждения такой: алгебраическое число степени $n$ плохо приближается рациональными дробями — есть предел точности, зависящий от знаменателя. Значит, если предъявить число, которое приближается дробями слишком хорошо, оно алгебраическим быть не может.

И он предъявляет:

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{10^{k!}} = 0{,}110001000000000000000001\ldots$$

Нули идут всё более длинными сериями, и обрывок ряда даёт феноменально точное приближение. Число трансцендентно.

Это на тридцать лет раньше канторовского счёта мощностей, показавшего, что трансцендентных чисел подавляющее большинство. Между двумя доказательствами разница поучительная: Кантор доказал, что таких чисел много, не предъявив ни одного; Лиувилль предъявил, ничего не сказав о количестве.

Спасение Галуа

В 1846 году Лиувилль напечатал в своём журнале рукописи Эвариста Галуа — те самые, что были отвергнуты Академией и четырнадцать лет пролежали без движения.

Разобрать их стоило труда: текст написан крайне сжато, и Лиувилль потратил месяцы, прежде чем понял, что перед ним. Он не просто напечатал, а объяснил — снабдил публикацию комментарием, из которого стало ясно, что́ именно сделано. Без этого ночь перед дуэлью осталась бы просто гибелью молодого человека, а теория групп пришла бы позже и другим путём.

Что ещё носит его имя

Теорема Лиувилля в комплексном анализе: ограниченная целая функция постоянна. Из неё в две строки следует основная теорема алгебры.

Теорема Лиувилля в механике: фазовый объём сохраняется при гамильтоновой эволюции — основание статистической физики.

Задача Штурма — Лиувилля (1836, совместно с Шарлем Штурмом) — первый в истории «спектр»: краевая задача, у которой решения существуют лишь при отдельных значениях параметра. Отсюда прямая линия к спектральной теории и квантовой механике.

Теорема Лиувилля об интегрировании в конечном виде — точное описание того, какие интегралы «не берутся» в элементарных функциях. То есть ответ на вопрос, который студенты задают каждый год.

Журнал

В 1836 году Лиувилль основал «Journal de mathématiques pures et appliquées» — второй в мире математический журнал общего профиля — и вёл его тридцать девять лет. Его до сих пор называют «журналом Лиувилля».

Умер в 1882 году в Париже.