Лежандр: многочлены из притяжения сфероида

Задача: чему равно притяжение несферического тела

НьютонИсаак Ньютонанглийский математик, физик и астроном · 1643–1727Создатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику. решил задачу для шара: снаружи шар притягивает так, будто вся масса собрана в центре. Земля, однако, не шар — она сплюснута, и XVIII век это измерил экспедициями в Лапландию и Перу. А для сплюснутого тела красивого ответа нет.

Именно этим — притяжением однородных сфероидов — занимается Адриен Мари Лежандр в мемуаре, представленном Академии в 1782 году.

Ход: разложить обратное расстояние

Пусть притягивающая точка находится на расстоянии $r'$ от центра, наблюдатель — на расстоянии $r$, а угол между направлениями равен $\gamma$. Тогда

$$\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}=\frac{1}{\sqrt{r^{2}-2rr'\cos\gamma+r'^{2}}}=\frac{1}{r}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^{2}}},\qquad x=\cos\gamma,\quad t=\frac{r'}{r}.$$

Под корнем стоит школьная теорема косинусов. Лежандр раскладывает это выражение в ряд по степеням $t$:

$$\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^{2}}}=\sum_{n\geqslant0}P_{n}(x)\,t^{n}.$$

Коэффициенты оказываются многочленами от $x$:

$$P_{0}=1,\qquad P_{1}=x,\qquad P_{2}=\frac{3x^{2}-1}{2},\qquad P_{3}=\frac{5x^{3}-3x}{2},$$

и все следующие получаются рекуррентно: $(n+1)P_{n+1}=(2n+1)\,x\,P_{n}-n\,P_{n-1}$.

Физический смысл разложения — мультипольное разложение, живое и сегодня: нулевой член описывает притяжение так, будто вся масса в центре, первый даёт дипольную поправку, второй — квадрупольную, отвечающую за сплюснутость. Коэффициенты земного поля спутниковая геодезия измеряет до сих пор, и именно они говорят нам, насколько Земля не шар.

Свойство, которого Лежандр не искал

$$\int_{-1}^{1}P_{m}(x)\,P_{n}(x)\,dx=0\quad(m\ne n),\qquad \int_{-1}^{1}P_{n}^{2}(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}.$$

Многочлены ортогональны. В 1782 году это ещё не главное свойство, а любопытное наблюдение: слова «ортогональная система функций» не существует.

Причина же обнаружится только через полвека. Каждый $P_{n}$ удовлетворяет уравнению

$$\big((1-x^{2})\,P_{n}'\big)'+n(n+1)\,P_{n}=0,$$

а это задача ШтурмаЖак Шарль Франсуа Штурмфранцузский математик швейцарского происхождения · 1803–1855Первым измерил скорость звука в воде — ударом в подводный колокол на Женевском озере, — а потом вместе с Лиувиллем обнаружил, что у колеблющейся струны решения существуют лишь при избранных значениях. Гильберт… — ЛиувилляЖозеф Лиувилльфранцузский математик · 1809–1882Первым предъявил трансцендентное число — построил его, а не доказал, что такие «должны существовать». И спас Галуа: разобрал рукописи, четырнадцать лет пролежавшие без движения, и напечатал их. с $p=1-x^{2}$, $q=0$, весом $w=1$ и собственным значением $\lambda=n(n+1)$. Ортогональность выводится из неё в три строки интегрированием по частям. Порядок событий стоит запомнить: сначала физика предъявила функции, и лишь потом математика объяснила, почему они обязаны быть ортогональными.

Зоопарк с одним правилом

К концу XIX века таких семейств набралось несколько, и каждое пришло из своей задачи.

Правило одно: каждая система — собственные функции задачи Штурма — Лиувилля со своим весом, а вес диктуется физикой задачи. Ортогональность в каждом случае понимается с этим весом: $\int u_{m}u_{n}\,w\,dx=0$.

Два примера того, насколько это не абстракция.

Эрмит и осциллятор. Уравнение $-\psi''+x^{2}\psi=E\psi$ имеет решения $\psi_{n}(x)=H_{n}(x)\,e^{-x^{2}/2}$ ровно при $E=2n+1$. Дискретность уровней энергии осциллятора — это дискретность спектра задачи Штурма — Лиувилля, и ничто другое.

Лежандр и таблица Менделеева. Из многочленов Лежандра строятся сферические функции, а их квадраты — те самые картинки $s$-, $p$-, $d$-орбиталей из школьного учебника химии. Форма электронного облака есть форма собственной функции.

Как получить их все, не зная физики

Ответ даст процесс ортогонализации: если применить его к степеням $1,x,x^{2},\dots$ с нужным весом, выпадает ровно соответствующее семейство. Весь зоопарк — одна процедура с пятью весами.

Человек

Адриен Мари Лежандр (1752–1833) — из того поколения французских математиков, которое застало и Академию старого режима, и Революцию, и Империю. Состояние он в Революцию потерял; в 1824-м отказался голосовать за правительственного кандидата в Академии и лишился пенсии; последние годы прожил в бедности.

Школьному учителю он известен другим: «Éléments de géométrie» (1794) — учебник, который на сто лет вытеснил ЕвклидаЕвклидгреческий математик · около 300 года до н. э.Автор книги, которая две тысячи лет была вторым по тиражу текстом после Библии, — и о котором самом не известно почти ничего. из европейских и американских школ. Ему же принадлежат метод наименьших квадратов и связанная с ним история о приоритете с ГауссомКарл Фридрих Гаусснемецкий математик и астроном · 1777–1855«Король математиков», у которого напечатанное было заметно меньше сделанного: половина результатов пролежала в дневнике до самой смерти — включая неевклидову геометрию., символ Лежандра в теории чисел и полная теория эллиптических интегралов, которую через несколько лет обесценят АбельНильс Хенрик Абельнорвежский математик · 1802–1829Доказал, что формулы для уравнения пятой степени не существует, и потребовал от математики строгости, которой она тогда не знала, — за шесть лет работы и двадцать шесть лет жизни. и Якоби.

И курьёз, достойный этой карты: двести лет во всех книгах печатали «портрет Лежандра», на котором изображён политик времён Революции Луи Лежандр — однофамилец. Единственное подлинное изображение математика, карикатура 1820 года, было опознано только в 2005-м.

Следующая точка: Париж, 1799 — сколько энергии сидит в коэффициентах.