Жак Шарль Франсуа Штурм

Две его главные работы разделены десятью годами и относятся к разным наукам. Общее в них — умение узнать общее правило там, где остальные видят частный расчёт.

Женевское озеро

Родился в 1803 году в Женеве, в семье учителя арифметики. Отец умер, когда сыну было шестнадцать; денег на учёбу не было, и Штурм пошёл домашним учителем — в семью госпожи де Сталь.

В 1826 году, двадцати трёх лет, он вместе с Даниэлем Колладоном поставил опыт, который вошёл во все учебники акустики. На одном берегу Женевского озера ударяли в подводный колокол и в тот же миг поджигали порох; на другом берегу, в четырнадцати километрах, замеряли задержку между вспышкой и звуком, слышимым через погружённую в воду трубу.

Скорость звука в воде вышла около 1435 м/с — ошибка меньше процента от нынешнего значения.

С семьёй де Сталь он перебрался в Париж, где остался навсегда: французское гражданство получил в 1833 году, кафедру в Политехнической школе — в 1838-м, место в Академии наук — в 1836-м, заняв кресло умершего Ампера.

Теорема Штурма

В 1829 году он решил задачу, стоявшую со времён Декарта: сколько корней у многочлена на данном отрезке?

Приём: построить по многочлену цепочку («ряд Штурма») последовательными делениями с остатком — и посчитать, сколько раз меняется знак в этой цепочке на концах отрезка. Разность и есть число корней.

Замечательно, что метод не находит ни одного корня — он их считает. Это ровно то, чего добивались: отделить вопрос «сколько» от вопроса «какие». Школьникам он известен именно по этой теореме.

Спектр

Главная работа — 1836–1837 годы, совместно с Жозефом Лиувиллем, в первых томах только что основанного «Journal de Mathématiques Pures et Appliquées».

Задача физическая: колебания неоднородной струны, у которой плотность и натяжение меняются вдоль длины. Уравнение

$$\frac{d}{dx}\!\left(p(x)\frac{dy}{dx}\right) + \big(\lambda\, w(x) - q(x)\big)\,y = 0$$

с краевыми условиями на концах имеет нетривиальные решения не при всяком $\lambda$, а только при избранных — собственных значениях. Их бесконечно много, они образуют возрастающую последовательность, а отвечающие им собственные функции ортогональны и — что важнее всего — по ним можно раскладывать произвольную функцию, как по синусам в ряде Фурье.

Существенно тут вот что: разложение существует не потому, что кто-то придумал синусы, а потому, что так устроена задача. Собственные функции возникают из уравнения сами. Через семьдесят лет Гильберт даст этому явлению имя «спектр» — а ещё через двадцать выяснится, что спектры атомов есть в точности собственные значения оператора.

Одного Штурм и Лиувилль не доказали — полноты: что ряд по собственным функциям действительно сходится к исходной функции, они считали очевидным. Строгое доказательство пришло только на рубеже веков, а окончательную форму получило после интеграла Лебега и теоремы Рисса — Фишера.

Умер в Париже в 1855 году, пятидесяти двух лет.