Штейнер: геометрия без вычислений

Пастух, научившийся читать в четырнадцать

Якоб Штейнер (1796–1863) родился в швейцарской деревне Утценсторф в крестьянской семье и до четырнадцати лет работал на отцовской ферме. Читать и писать он в эти годы не умел.

В восемнадцать он ушёл из дома против воли родителей — в Ивердон, в школу Песталоцци, где учился и вскоре стал преподавать сам. Метод Песталоцци — доходить до всего наглядно, через созерцание, а не через заучивание правил — определил его на всю жизнь.

Дальше Гейдельберг, Берлин, годы частных уроков и статей в журнале Крелле. В 1832 году выходит его главная книга — «Систематическое развитие зависимости геометрических образов друг от друга». В 1834-м ЯкобиКарл Густав Якобинемецкий математик · 1804–1851Соперничал с Абелем в теории эллиптических функций и придумал вместе с Бесселем вещь, изменившую науку сильнее любой теоремы, — исследовательский семинар. и Александр фон Гумбольдт добиваются, чтобы в Берлинском университете создали кафедру специально для него. Он занимал её до смерти.

Характер у него был под стать биографии: резкий, вспыльчивый, всю жизнь говорил на швейцарском диалекте и не скрывал презрения к вычислениям. Ему приписывают фразу: счёт заменяет мышление, геометрия его пробуждает.

Что такое синтетическая геометрия

Это не стиль, а позиция.

К 1830-м годам у геометрии есть координаты, и любую задачу можно перевести в алгебру: записать уравнения, преобразовать, получить ответ. Работает всегда и не требует изобретательности.

Штейнер считал это поражением. По его убеждению, геометрическое утверждение должно доказываться геометрически — через построения, проекции и соответствия фигур, — и тогда доказательство объясняет, почему утверждение верно, а не просто удостоверяет, что верно.

Он был не одинок: проективную геометрию достраивали и другие, и спор синтетиков с аналитиками шёл всю первую половину века. Сегодня победила алгебра — но вопрос, который задавал Штейнер, никуда не делся, и любой учитель встречает его каждый раз, когда ученик решает геометрическую задачу координатным методом и получает верный ответ, ничего не поняв.

Задача Лемуса

В 1840 году берлинский преподаватель Кристиан Людольф Лемус послал ШтурмуЖак Шарль Франсуа Штурмфранцузский математик швейцарского происхождения · 1803–1855Первым измерил скорость звука в воде — ударом в подводный колокол на Женевском озере, — а потом вместе с Лиувиллем обнаружил, что у колеблющейся струны решения существуют лишь при избранных значениях. Гильберт… задачу, а тот пустил её по кругу. Первое доказательство дал Штейнер, и с тех пор задача носит два имени.

Если две биссектрисы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Формулировка выглядит как школьное упражнение. Обратное — что у равнобедренного треугольника две биссектрисы равны — доказывается в одну строку. А это не доказывается никак.

Почему прямого доказательства нет

Доказательств у задачи Штейнера — Лемуса сегодня десятки, и все они от противного: предполагаем, что треугольник неравнобедренный, и получаем противоречие.

Прямого — такого, где из равенства биссектрис прямо выводилось бы равенство сторон, — не нашли за сто восемьдесят лет.

Джон Конвей объяснял, почему его, вероятно, и не может быть. Утверждение перестаёт быть верным, если чуть расширить понятие треугольника — допустить, скажем, «мнимые» стороны и углы. А прямое доказательство обычно такое расширение переживает: если рассуждение не опирается на неравенства и на порядок точек, оно продолжается автоматически. Значит, всякое доказательство обязано где-то опереться именно на порядок, — а это и есть рассуждение от противного.

Для школьного разговора отсюда следует важное: бывают утверждения, у которых способ доказательства предопределён самим утверждением. Не потому, что мы не догадались, а потому, что иначе нельзя.

Точка Ферма и дерево Штейнера

Вторая линия его интересов — кратчайшие сети.

Задача, известная как точка Ферма: найти точку, сумма расстояний от которой до трёх вершин треугольника наименьшая. Поставил её Ферма, решил Торричелли. Если все углы треугольника меньше $120^\circ$, искомая точка — та, из которой все три стороны видны под углом $120^\circ$.

Штейнер занялся общим случаем: даны $n$ точек, требуется соединить их сетью наименьшей длины, причём разрешено добавлять новые узлы. Такая сеть называется теперь деревом Штейнера.

И вот чем это кончилось. В 1972 году задача о дереве Штейнера попала в список Карпа — двадцать одна задача, для которых быстрого алгоритма, скорее всего, не существует. Вопрос, поставленный Ферма в письме про треугольник, оказался NP-трудным.

Круг и изопериметр

Ещё один сюжет — задача об изопериметребуквально «равнопериметровая»: какая из фигур с данным периметром имеет наибольшую площадь: доказать, что среди всех фигур данного периметра наибольшую площадь имеет круг.

Штейнер дал пять разных доказательств, и во всех была одна и та же дыра: он показывал, что если наибольшая фигура существует, то это круг, — но существование не доказывал. Указал на это ВейерштрассКарл Вейерштрасснемецкий математик · 1815–1897Пятнадцать лет учительствовал в провинциальной гимназии, а потом переписал анализ на языке $\varepsilon$ и $\delta$ — и предъявил функцию, у которой нигде нет касательной., он же и закрыл пробел, построив общую теорию.

История поучительная и очень штейнеровская: наглядное рассуждение доходит до самого конца и спотыкается ровно там, где нужна не наглядность, а строгость.

Следующая точка: Париж — где на двадцать лет треугольник станет самостоятельной наукой с журналами и конкурсами, а потом всё оборвётся.