Новая геометрия треугольника

Инженер газового ведомства

Эмиль Лемуан (1840–1912) окончил Политехническую школу и служил инженером в парижском газовом хозяйстве. Математика была для него занятием вне службы, как и музыка: он играл на трубе, основал камерное общество «La Trompette» и заказывал для него сочинения — писал, среди прочих, Сен-Санс.

В 1873 году на съезде Французской ассоциации содействия наукам в Лионе он делает доклад «О некоторых свойствах замечательной точки треугольника». С этого доклада принято отсчитывать двадцатилетие, которого больше не повторилось.

Точка Лемуана и симедианы

Возьмите медиану треугольника и отразите её относительно биссектрисы, выходящей из той же вершины. Полученная прямая называется симедианой.

Три симедианы треугольника пересекаются в одной точке.

Это точка Лемуана. Свойств у неё много: например, она единственная точка, которая служит центром тяжести своего собственного педального треугольника.

И сразу — приоритет. Ту же точку описал в 1847 году немецкий учитель Эрнст Вильгельм Гребе, и в немецкой литературе она долго звалась точкой Гребе. Сегодня чаще говорят «симедианная точка», чтобы никого не обидеть.

Геометрография: сколько стоит построение

Второе изобретение Лемуана к треугольнику отношения не имеет, но в нашей линии оказывается на своём месте.

В 1888 году он предлагает геометрографию — способ измерять сложность построения циркулем и линейкой. Элементарных операций он насчитал пять: приложить линейку к точке, провести прямую, поставить ножку циркуля в точку, поставить её на линию, провести окружность. Сложность построения — это просто число операций.

Зачем: до Лемуана «построить» означало «построить хоть как-нибудь», и сравнивать два решения было нечем. С геометрографией у построений появляется цена, и можно спрашивать, нельзя ли дешевле.

Вопрос этот на карте не новый. Абу-л-Вафа девятью веками раньше спрашивал ровно о том же, только на языке мастерской: он берёг не операции, а движения циркуля, потому что от каждого сбивался раствор.

Кто ещё

Движение это не сводится к одному человеку, и почти все его участники — не профессора.

Анри Брокар (1845–1922) — военный инженер и метеоролог. В 1875 году описал точки Брокара, угол Брокара и окружность Брокара.
Кристиан Генрих фон Нагель (1803–1882) — учитель гимназии в Ульме. Точка Нагеля (1836).
Жозеф Диаз Жергонн (1771–1859) — артиллерийский офицер, потом издатель тех самых «Annales», где печатались Понселе и Брианшон. Точка Жергонна.
Анри ван Обель (1830–1906) — бельгийский учитель. Теорема ван Обеля о квадратах, построенных на сторонах четырёхугольника (1878).
Огюст Микель (1816–1851) — французский учитель. Теоремы Микеля об окружностях (1838).

Ещё через полвека тем же будут заниматься Виктор Тебо (1882–1960), французский страховой служащий, и румын Димитрие Помпейю (1873–1954). Жанр переживёт своё время.

Журналы и масштаб

У направления были свои издания. «Journal de mathématiques élémentaires» во Франции, «Mathesis» в Генте (с 1881), «Educational Times» в Лондоне с его отделом задач, немецкий «Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht», а с 1894 года — «American Mathematical Monthly», основанный ровно для этого.

Счёт статей за двадцать лет идёт на тысячи. Пишут учителя, инженеры, офицеры, священники — люди, у которых есть образование, досуг и охота, но нет университетской кафедры. Это, пожалуй, единственный в истории математики период, когда исследовательская работа была массовым любительским занятием.

Теорема Наполеона, к которой Наполеон непричастен

Здесь же уместно закрыть один школьный миф.

Теорема Наполеона. Построим на сторонах произвольного треугольника три правильных треугольника — вовне. Их центры окажутся вершинами правильного треугольника.

Утверждение верное и красивое. К Наполеону Бонапарту оно отношения не имеет: первая известная публикация — заметка англичанина Уильяма Резерфорда в лондонском альманахе «The Ladies' Diary» за 1825 год, через четыре года после смерти императора. Кто и когда приписал теорему Наполеону, неизвестно.

Отдельной точки на карте она не получает именно поэтому: у неё нет ни автора, ни момента, ни места.

Почему всё кончилось

Около 1900 года направление обрывается — не постепенно, а довольно резко.

Причина не в том, что темы кончились: центров треугольника можно найти сколько угодно. Причина в том, что математика ушла в другую сторону. Теория множеств, абстрактная алгебра, топология, а в самой геометрии — аксиоматика Гильберта 1899 года: интерес сместился с того, что верно про треугольник, на то, из чего это следует.

Новые результаты о треугольнике перестали быть интересными, потому что перестали быть трудными. Найти ещё одну замечательную точку можно, но это не продвигает ничего.

Что осталось

Осталось два наследства.

Первое — Энциклопедия центров треугольника, которую с 1994 года ведёт Кларк Кимберлинг. Сегодня в ней описано больше семидесяти тысяч точек, каждая со своими координатами и свойствами. Это добросовестный каталог того, что уже никому не нужно как наука.

Второе — олимпиады. Всё, что нашли Лемуан, Брокар и Нагель, стало материалом для задач, и в этом качестве прекрасно живёт.

Направление умерло, а его результаты преподают в школе. Так тоже бывает.

Симедиана

Докажите, что симедиана, выходящая из вершины $A$, делит сторону $BC$ в отношении

$$\frac{BX}{XC}=\frac{c^2}{b^2},$$

где $b=AC$, $c=AB$. Выведите отсюда теоремой Чевы, что три симедианы пересекаются в одной точке.

Указание: медиана делит $BC$ пополам, то есть в отношении $1:1$; отражение относительно биссектрисы меняет отношение на $\dfrac{c^2}{b^2}$. Дальше произведение по Чеве равно $\dfrac{c^2}{b^2}\cdot\dfrac{a^2}{c^2}\cdot\dfrac{b^2}{a^2}=1$.

Следующая точка: Воронеж — где учитель реального училища напишет учебник, по которому страна будет учиться шестьдесят лет.