Чева: три прямые, сходящиеся в точке

Инженер, а не профессор

Джованни Чева (1647–1734) родился в Милане, учился в иезуитской коллегии Брера и в Пизе, а с 1686 года служил в Мантуе — сначала у герцогов Гонзага, потом у Габсбургов. Должность у него была не университетская: он ведал гидравликой и монетным делом.

Обе службы дали книги. По монетному делу — «De re numaria» (1711), один из первых текстов, где к деньгам применена математика. По гидравлике — заключения о речных работах, и среди них знаменитое: Чева выступил против проекта отвода реки Рено в По, объяснив, чем это кончится для окрестных земель. Его не послушали; кончилось, как он и говорил.

Геометрией он занимался помимо службы.

⚠ И сразу оговорка на будущее: у него был брат — Томмазо Чева (1648–1737), иезуит, тоже математик и вдобавок латинский поэт. Оба публиковались, обоих зовут Чева, и путать их будут постоянно.

Книжка про статику

«De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio» — «О взаимно пересекающихся прямых: статическое построение», Милан, 1678.

Название сообщает метод, и метод неожиданный. Statica — это про равновесие. Чева доказывает чисто геометрическое утверждение, развешивая грузы.

Приём восходит к АрхимедуАрхимедгреческий математик, механик и инженер · около 287–212 до н. э.Считал площади и объёмы за девятнадцать веков до интегрального исчисления и оставил письмо, в котором честно рассказал, как он на самом деле догадывался до ответов., который находил площади и объёмы взвешиванием, а потом доказывал строго. Чева переносит его туда, где никакой физики нет вовсе, — в треугольник.

Теорема

Точки $X$, $Y$, $Z$ лежат на сторонах $BC$, $CA$, $AB$ треугольника $ABC$. Отрезки $AX$, $BY$, $CZ$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
$$\frac{BX}{XC}\cdot\frac{CY}{YA}\cdot\frac{AZ}{ZB}=1.$$

Отрезок, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне, с тех пор называют чевианой.

Сравните это с теоремой Менелая, записанной в Риме шестнадцатью веками раньше: там точно такое же произведение трёх отношений равно единице, но точки лежат на одной прямой, а не отрезки проходят через одну точку.

Два утверждения двойственны друг другу: поменяйте местами слова «точка» и «прямая» — и одно превратится в другое. Это в точности та двойственность, которую Дезарг нащупал за сорок лет до Чевы и которую Понселе сформулирует только в XIX веке. Чева ею пользуется, не называя.

Как это доказывают грузами

Доказательство взвешиванием

Поместим в вершины $A$, $B$, $C$ грузы $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и найдём центр тяжести системы.

Центр тяжести двух грузов делит соединяющий их отрезок обратно пропорционально массамправило рычага, известное ещё Архимеду: чем тяжелее груз, тем ближе к нему точка опоры. Формально $\beta\cdot BX=\gamma\cdot XC$. Значит, центр тяжести грузов $\beta$ и $\gamma$ лежит на стороне $BC$ в точке $X$, для которой

$$\frac{BX}{XC}=\frac{\gamma}{\beta}.$$

Теперь общий центр тяжести всех трёх грузов можно искать двумя шагами: сначала свести $\beta$ и $\gamma$ в точку $X$, потом уравновесить $X$ с $A$. Значит, общий центр лежит на чевиане $AX$. Но порядок объединения произволен — точно так же он лежит на $BY$ и на $CZ$.

Три чевианы проходят через общий центр тяжести. А произведение отношений равно

$$\frac{\gamma}{\beta}\cdot\frac{\alpha}{\gamma}\cdot\frac{\beta}{\alpha}=1$$

просто потому, что всё сокращается. $\blacksquare$

Обратите внимание, что здесь произошло. Условие «произведение равно единице» выглядит в учебнике как случайное совпадение, которое надо запомнить. При взвешивании оно перестаёт быть совпадением: это сокращение дроби, и иначе быть не могло.

Три классических случая

Вся школьная теория замечательных точек треугольника получается подстановкой масс.

Грузы в вершинах	Чевианы	Точка пересечения
$1$, $1$, $1$	медианы	центр тяжести
$a$, $b$, $c$ (длины сторон)	биссектрисы	центр вписанной окружности
$\tg A$, $\tg B$, $\tg C$	высоты	ортоцентр

Первые две строки школьник может проверить сам за пять минут; третья требует немного тригонометрии.

И заметьте, что для биссектрис нужно ровно одно постороннее утверждение — что биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон. Это предложение VI.3 «Начал», которому к тому моменту почти две тысячи лет.

Возвращение Менелая

В той же книжке Чева печатает и теорему Менелая.

К концу XVII века она в Европе была почти забыта: астрономы перешли на теорему синусов ещё в X веке, и с тех пор менелаева конфигурация вышла из употребления. Чева достаёт её из небытия и ставит рядом со своей.

С тех пор они ходят парой. В школьном задачнике они стоят на одной странице, и ничто не выдаёт, что между ними шестнадцать веков и что вторая была написана специально, чтобы вернуть первую.

Приоритет

Как всегда в этой линии, надо назвать и то, что выяснилось позже.

Частный случай теоремы Чевы содержится в трактате «Китаб аль-Истикмаль», написанном в XI веке в Сарагосе правителем и математиком аль-Муʼтаманом ибн Худом. Обнаружено это только в 1980-е годы, когда рукопись изучили как следует, — то есть через триста лет после Чевы и через девятьсот после написания.

На имени теоремы это не сказалось и вряд ли скажется. Но сказать об этом стоит: то, что мы называем историей математики, — это история дошедших текстов, а не история мыслей.

Следующая точка: Париж — где заметят, что середины сторон любого четырёхугольника всегда дают параллелограмм, и удивятся, что этого не заметили за две тысячи лет до.