Карта → событие
Ат-Туси: тригонометрия отделяется от астрономии
Вторая точка про одного и того же человека
Насир ад-Дин ат-Туси (1201–1274) уже есть на карте: точка о Мараге рассказывает про обсерваторию, которой не должно было быть, про «пару ат-Туси» — два круга, превращающих вращение в колебание, — и про трактат о параллельных вместе с историей о подмене, доведшей эстафету пятого постулата до Валлиса и Саккери.
Здесь — другая его книга и другой сюжет. Разделить их пришлось так же, как две александрийские точки о Евклиде: одна и та же обсерватория, тот же человек, но одно относится к истории представлений о пространстве, а второе — к истории фигуры.
«Книга о фигуре секущей»
Около 1260 года ат-Туси заканчивает трактат, название которого переводят как «Книга о фигуре секущей» — Китаб аш-шакл ал-каттаʿ. Пять книг.
«Фигура секущая» — это арабское имя той самой конфигурации, с которой всё началось: полного четырёхсторонника Менелая и правила шести величин. Название книги честно говорит, откуда она растёт.
Что значит «отделить тригонометрию»
До ат-Туси тригонометрия существовала как первая глава астрономического сочинения. У Птолемея она занимает первую книгу «Альмагеста» и стоит там потому, что без неё не сосчитать движение планет. Так же устроены арабские зиджи — астрономические таблицы с введением.
Ат-Туси пишет отдельную книгу. Не главу, не введение, а самостоятельный труд, где треугольник — предмет, а не инструмент. В предисловии он это прямо оговаривает: наука о треугольниках заслуживает изложения сама по себе.
Разница не косметическая. Пока тригонометрия — глава при астрономии, в ней остаётся ровно то, что нужно астроному, и излагается она в том порядке, в каком возникают его задачи. Как только она становится предметом, появляется вопрос о полноте: разобраны ли все случаи, все ли задачи о треугольнике решены. Ат-Туси этот вопрос задаёт и на него отвечает.
Честная оговорка: он не первый, кто в эту сторону двинулся. Столетием раньше в Севилье Джабир ибн Афлах написал «Книгу о неизвестных дугах сферы», где сферическая тригонометрия тоже излагается довольно самостоятельно. Но полностью и для обоих случаев — плоского и сферического — это сделал ат-Туси.
Что внутри
Для плоского треугольника — полная система: теорема синусов и разбор всех случаев, когда треугольник определяется тремя элементами. По двум углам и стороне, по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам. Ровно то, что в школе называется «решением треугольников» и стоит в программе десятого класса.
Для сферического — теорема синусов, приведённое в порядок правило шести величин и понятие полярного треугольникадля данного сферического треугольника берут полюсы больших кругов, на которых лежат его стороны, — получается новый треугольник, у которого стороны и углы меняются ролями с исходным. Приём превращает одну теорему в другую даром, которое превращает каждую теорему в двойственную ей.
И главное действие книги: ат-Туси систематически заменяет менелаеву конфигурацию теоремой синусов. Там, где астроному прежде приходилось изобретать вспомогательные дуги, чтобы получить нужную «фигуру секущую», теперь достаточно подставить в готовую формулу.
Так закрывается сюжет, начатый в Риме в 98 году. Полторы тысячи лет главным счётным орудием была теорема Менелая; теперь она уходит из практики — и остаётся тем, чем мы её знаем сегодня: изящным фактом школьной планиметрии.
Кто это получил
Почти никто.
Книга ат-Туси в Европе прочитана не была: латинский перевод появится только в XIX веке. Через двести лет Региомонтан напишет «De triangulis omnimodis» — сочинение того же замысла и во многом того же содержания, — и вопрос о влиянии историки обсуждают до сих пор. Прямых свидетельств заимствования нет; общий источник — арабская традиция, известная в Европе через Испанию, — вполне мог дать и то и другое.
Осторожная формулировка выглядит так: Европа проделала тот же путь заново, и точно неизвестно, насколько самостоятельно.
Почему это конец восточного пути на нашей карте
Дальше в этой линии Восток появится ещё один раз — в Самарканде, — и появится он с задачей вычислительной, а не геометрической.
Оглянитесь на пройденное. За двести семьдесят лет от Багдада до Мараги геометрия фигуры получила то, чего у греков не было: тригонометрию как самостоятельную науку, честный разговор о том, что бывает точным построением, а что приближённым, и явное указание, когда набор данных фигуру не определяет. Всё это войдёт в школьный курс — и почти ни одно из этих имён в школьном учебнике не встретится.
Почему в теореме синусов стоит именно $2R$
Докажите, что в треугольнике $ABC$
$$\frac{a}{\sin A}=2R,$$
где $R$ — радиус описанной окружности.
Указание: проведите из вершины $B$ диаметр $BA'$. Угол $BCA'$ опирается на диаметр, значит он прямой — теорема Фалеса. Углы $BA'C$ и $BAC$ опираются на одну дугу $BC$, значит равны. Из прямоугольного треугольника $BCA'$ получаем $a = 2R\sin A$.
Следующая точка: Самарканд — где ручной счёт дойдёт до своего физического предела и выдаст шестнадцать верных знаков числа $\pi$.