Бхаскара II, «Лилавати»: «Смотри!»

Обсерватория, которой пятьсот лет

Бхаскара II (1114–1185), которого в Индии зовут Бхаскарачарья — «учитель Бхаскара», — возглавлял обсерваторию в Удджайне. Это главный астрономический центр Индии, тот самый, во главе которого пятью веками раньше стоял Брахмагупта.

Преемственность здесь не фигура речи. Бхаскара читает БрахмагуптуБрахмагуптаиндийский математик и астроном · 598 — около 668Первым в мире записал правила действий с нулём и отрицательными числами — как с законными числами, а не как с недоразумением; ошибся только в делении на нуль, и ошибку эту исправляли тысячу лет., спорит с ним и исправляет — и мы увидим, в чём именно.

Книга, названная женским именем

Главный труд — «Сиддханта-широмани», «Венец учения» (1150), в четырёх частях: арифметика и геометрия, алгебра, учение о сфере, математика планет.

Первая часть называется «Лилавати», и это женское имя.

Легенда о нём известна из персидского перевода, сделанного Фаизи в 1587 году по заказу Акбара. Лилавати — дочь Бхаскары; астрологи вычислили единственный благоприятный час для её замужества и поставили водяные часы; девушка склонилась над чашей, жемчужина с её наряда упала в отверстие и перекрыла ток воды; час прошёл незамеченным, брак не состоялся, и отец в утешение назвал её именем книгу, чтобы имя жило.

Историки относятся к этому сдержанно: рассказ появляется через четыреста с лишним лет после книги и никакими индийскими источниками не подтверждается. Но обращение к слушательнице в тексте и правда есть — задачи написаны стихами и адресованы «о милая», «прекрасная девушка с блестящими глазами».

Задачи в стихах

Вот одна из самых известных, и её стоит дать классу дословно.

Из воды выступает стебель лотоса на полфута. Влекомый ветром, он погрузился в воду на расстоянии двух футов от прежнего места. Какова глубина?

Обозначим глубину $h$. Стебель имеет длину $h+\tfrac12$ и, наклонившись, стал гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $2$:

$$h^2+2^2=\left(h+\tfrac12\right)^2 \quad\Longrightarrow\quad 4 = h + \tfrac14 \quad\Longrightarrow\quad h = 3\tfrac34 .$$

Красота задачи в том, что квадраты сокращаются и уравнение из квадратного становится линейным. Восьмиклассник решает её в две строки — и это ровно та задача на теорему Пифагора, какую он видит в учебнике, только с лотосом вместо лестницы у стены.

«Смотри!»

Самое известное, что есть в книге, — доказательство теоремы Пифагора одним чертежом.

Построен квадрат со стороной $c$. Внутри него размещены четыре прямоугольных треугольника с катетами $a$ и $b$, а в середине остаётся маленький квадрат со стороной $a-b$. Считаем площадь двумя способами:

$$c^2 = 4\cdot\frac{ab}{2} + (a-b)^2 = 2ab + a^2 - 2ab + b^2 = a^2+b^2 .$$

Предание гласит, что под чертежом Бхаскара не написал ничего, кроме одного слова: «Смотри!»

Здесь нужна честность. Рядом с чертежом у Бхаскары стоит и словесная выкладка, а в алгебраической части труда он приводит второе, вычислительное доказательство. Легенда о единственном слове родилась позже — и держится она потому, что чертёж действительно самодостаточен: посмотрев на него, вы уже всё поняли, ещё не дочитав пояснения.

Для урока отсюда следует вопрос, который стоит задать вслух: обязано ли доказательство состоять из слов? Ответ не так очевиден, как кажется. Чертёж убеждает мгновенно — но убеждает он в частном случае, в том, что нарисовано. Слова нужны затем, чтобы сказать: и при любых других $a$ и $b$ будет то же самое. Именно это и делает выкладка под чертежом.

Кто первым сказал, что четырёхугольник не определяется сторонами

А вот место, где Бхаскара поправляет предшественника, и поправка важна для школы.

Брахмагупта дал формулу площади четырёхугольника по четырём сторонам — ту, что в точности продолжает формулу Герона:

$$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$$

Изложил он её, однако, так, что читатель понимал: формула годится для любого четырёхугольника. Бхаскара говорит прямо, что это неверно, и объясняет почему: четырёх сторон недостаточно, чтобы определить четырёхугольник. Одни и те же четыре стороны дают целое семейство разных фигур с разными площадями — возьмите шарнирную рамку и подвигайте её.

Формула верна ровно для вписанного четырёхугольника: требование, чтобы все четыре вершины лежали на одной окружности, и убирает лишнюю свободу.

Замечание Бхаскары резкое: он называет общую формулировку работой человека, не понимающего дела. Резкость тут по существу — это первый в истории явный разговор о том, что набор данных может фигуру не определять, а такой разговор в школьной геометрии идёт постоянно, начиная с признаков равенства треугольников.

Что ещё в «Лилавати»

• Приближение $\pi \approx \dfrac{3927}{1250}=3{,}1416$, взятое у Ариабхаты, и грубое $\tfrac{22}{7}$ для расчётов попроще — с оговоркой, какое когда брать.
• Правила для теней гномона: по длине тени найти высоту, по высоте — время.
• Деление на нуль: величина кхахарабуквально «делённое на кха», где «кха» — одно из индийских слов для нуля; Бхаскара говорит, что она не меняется, сколько к ней ни прибавляй и сколько ни отнимай — и рассуждение, вплотную подходящее к понятию бесконечности.
• Циклический метод чакравала для уравнения Пелля — самое сильное, что сделал Бхаскара, но это уже теория чисел, а не наша линия.

«Лилавати» переписывали, комментировали и учили наизусть семьсот лет. Для индийской школы это то же, чем для русской станет Киселёв.

Следующая точка: Марага — где тригонометрию впервые вынут из астрономического трактата и издадут отдельной книгой.