Абу-л-Вафа: построения для ремесленника

Человек между двумя цехами

Абу-л-Вафа Мухаммад ал-Бузджани (940–998) родился в Бузджане, в Хорасане, а с девятнадцати лет жил в Багдаде, при дворе Буидовдинастия, державшая светскую власть в Багдаде в X–XI веках при сохранявшемся, но уже безвластном халифе, и работал в обсерватории.

В истории математики он известен прежде всего как тригонометр: ввёл в обиход тангенс, котангенс, секанс и косекансвеличины, обратные косинусу и синусу: $\sec\alpha=1/\cos\alpha$ и $\csc\alpha=1/\sin\alpha$. В российской школе их не проходят, а в западной традиции они живут до сих пор как самостоятельные величины наряду с синусом, составил таблицы синуса и тангенса через каждые десять минут дуги, нашёл способ вычислять $\sin 30'$ с невиданной прежде точностью — и вместе с двумя другими астрономами получил сферическую теорему синусов, о чём на карте рассказано отдельно.

Но здесь речь о другой его книге — той, которую он написал не для математиков.

«Книга о том, что необходимо ремесленнику»

Полное название переводится как «Книга о том, что необходимо ремесленнику из геометрических построений». Она обращена к тем, кто режет плитку, выкладывает купола и размечает орнамент.

Появилась она не из головы. В Багдаде той поры проходили встречи, на которых геометры и мастера обсуждали общие задачи, и Абу-л-Вафа в них участвовал. Книга — во многом запись этих разговоров, и в ней хорошо слышно раздражение человека, сидящего между двумя цехами.

Мастерам он пеняет на то, что они строят на глаз: узор сходится «примерно», и почему он сходится, никто объяснить не может. Математикам достаётся не меньше: их построения теоретически безупречны и невыполнимы в мастерской, потому что требуют десятков вспомогательных линий и точности, которой на камне не бывает.

Его собственная позиция — посередине: построение должно быть и доказуемым, и выполнимым. Для школьного разговора это, пожалуй, самое ценное, что есть в этой точке: разрыв между точным построением и практикой — не выдумка методистов, ему тысяча лет.

Циркуль, который нельзя раздвинуть

Отсюда главная особенность книги: значительная часть построений выполняется циркулем с раз навсегда закреплённым раствором.

Причина сугубо ремесленная. У мастера циркуль — не школьный инструмент с винтом; это две ножки, и всякий раз, когда раствор меняют, он немного «уходит». На большой панели накопленная ошибка означает, что узор не сойдётся. Если же раствор закреплён клином и не трогается вовсе, разметка остаётся точной хоть на всю стену.

Абу-л-Вафа показывает, что при таком ограничении можно построить куда больше, чем кажется: перпендикуляр, деление отрезка, правильные многоугольники, вписанные и описанные фигуры.

И вот что выяснилось потом.

Через семьсот лет оказалось, что ремесленное ограничение — вообще не ограничение. Теорема Мора — Маскерони (Георг Мор, 1672; Лоренцо Маскерони, 1797, независимо и не зная о первом) утверждает: всё, что строится циркулем и линейкой, строится одним циркулем, без линейки вовсе, — с оговоркой, что прямая считается построенной, если найдены две её точки. А теорема Понселе — Штейнера (Понселе, 1822; Штейнер, 1833) утверждает обратное: достаточно линейки и одной-единственной окружности с отмеченным центром, начерченной раз навсегда.

Оба героя этих теорем встретятся дальше в нашей же линии. Мастер, экономивший на движениях циркуля, оказался прав по существу, а не по бедности.

Разрезания

Вторая половина книги — про разрезания, и задачи там ровно те, что возникают в мастерской: есть несколько готовых квадратных плиток, нужно сложить из них одну квадратную панель.

Абу-л-Вафа разбирает случай трёх равных квадратов и поступает необычно для математического текста: сначала приводит ремесленное решение, которое неверно, и показывает, где именно оно расходится, а потом даёт своё, точное. Такой приём — сначала разобрать ошибку, потом дать правильный ход — в средневековых трактатах редкость.

Так же честно он помечает построения правильных многоугольников: какие из них точны, а какие лишь приближённы. Запомните эту деталь — через пять веков в Нюрнберге книгу того же жанра напишет художник, и вот он такой пометки не поставит.

Следующая точка: Удджайн — где теорему Пифагора докажут одним чертежом, а под чертежом, по преданию, не напишут ничего, кроме слова «Смотри!».