Брахмагупта: нуль и отрицательные числа

Книга

Брахмагупта (598 — ок. 668) возглавлял астрономическую обсерваторию в Удджайне — главном научном центре Индии. Трактат «Брахма-спхута-сиддханта» («Правильно установленное учение Брахмы») написан в 628 году в Бхиллмале (совр. Бхинмал, штат Раджастхан), когда автору было тридцать лет.

Это сочинение по астрономии в двадцати пяти главах; математике посвящены главы 12 («Ганита», арифметика) и 18 («Куттака», алгебра). Написано, как было принято, стихами — что вообще-то для математического текста мучительно, но облегчало запоминание.

Правила знаков

Брахмагупта первым в истории систематически формулирует арифметику отрицательных чисел, называя их «долгами» (рина), а положительные — «имуществом» (дхана):

Долг минус нуль есть долг. Имущество минус нуль есть имущество. Нуль минус нуль есть нуль. Долг, вычтенный из нуля, есть имущество; имущество, вычтенное из нуля, есть долг.

Произведение двух имуществ или двух долгов есть имущество. Произведение имущества и долга есть долг.

То есть:

$$(-a)(-b) = ab, \qquad (+a)(-b) = -ab, \qquad 0-a = -a.$$

Почему «минус на минус даёт плюс» — вопрос, который до сих пор мучает школьников, и стоит заметить, что в 628 году это было не определение по прихоти, а результат размышления о согласованности: правило выбрано так, чтобы сохранялся дистрибутивный закон. Проверим: если требовать $(-1)\cdot(1+(-1)) = 0$, то $(-1)\cdot1 + (-1)\cdot(-1) = 0$, откуда $(-1)\cdot(-1) = 1$. Другого выбора нет.

Брахмагупта же явно указывает, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения, положительное и отрицательное.

Нуль как число

Здесь его вклад ещё крупнее. До Брахмагупты нуль в позиционной записи (символ уже применялся в Индии) был разделителем разрядов. Брахмагупта делает его числом, с которым производят операции:

$$a+0=a,\qquad a-0=a,\qquad a\cdot0 = 0.$$

И — впервые в истории — ставит вопрос о делении на нуль. Отвечает он на него так:

• $\dfrac{a}{0}$ — «дробь с нулевым знаменателем» (оставляет без определённого ответа);
• $\dfrac{0}{0} = 0$.

Второе неверно. Это следует сказать прямо: величайший арифметик своего века здесь ошибся, и ошибка держалась в индийской традиции долго. Бхаскара II (XII век) исправил положение частично, заявив, что $\frac{a}{0}$ есть величина бесконечная и неизменная при прибавлении и вычитании конечных величин, — уже ближе к истине. Полная ясность («выражение не определено, потому что уравнение $0\cdot x=a$ либо не имеет решений, либо имеет их все») приходит только с современным понятием обратного элемента.

Ценность попытки Брахмагупты не в правильности ответа, а в том, что он первым счёл вопрос осмысленным.

Квадратное уравнение

Брахмагупта даёт общее правило для $ax^{2}+bx=c$:

Умножь абсолютную величину на четырёхкратный коэффициент квадрата, прибавь квадрат коэффициента неизвестного; квадратный корень из этого, уменьшенный на коэффициент неизвестного и делённый на удвоенный коэффициент квадрата, есть значение.

$$x = \frac{\sqrt{4ac+b^{2}}-b}{2a}.$$

Это в точности наша формула. И принципиально: корень допускается отрицательным, чего не было ни в Вавилоне, ни у греков, ни (девятью веками позже) у КарданоДжероламо Карданоитальянский врач, математик и астролог · 1501–1576Напечатал чужое решение кубического уравнения и получил за это славу и вечные упрёки; первым в истории посчитал шансы в игре — и эту книгу не напечатал вовсе., называвшего отрицательные корни «ложными» и «фиктивными».

Тождество Брахмагупты и уравнение Пелля

Самый глубокий его результат, который стоит показать целиком.

Тождество (правило «бхавана», то есть «композиция»):

$$\left(x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2}\right)\left(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2}\right) = \left(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2}\right)^{2}-N\left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)^{2}.$$

Проверка — раскрыть обе части, что стоит проделать один раз в жизни. Левая:

$$x_1^2x_2^2 - Nx_1^2y_2^2 - Nx_2^2y_1^2 + N^2y_1^2y_2^2.$$

Правая: $\left(x_1x_2\right)^2 + 2Nx_1x_2y_1y_2 + N^2y_1^2y_2^2 - N\left(x_1^2y_2^2 + 2x_1x_2y_1y_2 + x_2^2y_1^2\right)$. Члены с $2Nx_1x_2y_1y_2$ сокращаются, остаётся ровно левая часть. $\checkmark$

Зачем это. Форма $x^{2}-Ny^{2}$ мультипликативна: перемножив два её значения, получаем снова её значение. (Современный взгляд: $x^2-Ny^2$ — норма элемента $x+y\sqrt N$ в кольце $\mathbb{Z}[\sqrt N]$, а норма мультипликативна.)

Следствие. Если найдено одно решение уравнения $x^{2}-Ny^{2}=1$, то, «складывая» его с самим собой, получаем бесконечно много решений. И, что важнее, из решения со значением $\pm2$, $\pm4$ можно за конечное число шагов получить решение со значением 1.

Брахмагупта решил, например, $x^{2}-92y^{2}=1$, найдя $x=1151$, $y=120$. Проверим: $1151^{2}=1\,324\,801$, $92\cdot120^{2}=92\cdot14\,400=1\,324\,800$. Разность равна 1. $\checkmark$

Он писал, что тот, кто решит эту задачу в течение года, — истинный математик. Это не бахвальство: попробуйте найти такие числа перебором.

Полный алгоритм (чакравала, «циклический метод»), решающий $x^2-Ny^2=1$ для любого неквадратного $N$, дали Джаядева (ок. XI в.) и Бхаскара II (1150). Бхаскара решил случай $N=61$, где наименьшее решение равно

$$x = 1\,766\,319\,049, \qquad y = 226\,153\,980.$$

В Европе то же уравнение поставит ФермаПьер Фермафранцузский юрист и математик · 1607–1665Советник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей. в 1657 году как вызов английским математикам (именно случай $N=61$ и $N=109$ — он явно подбирал самые неприятные). Решат его Броункер и ВаллисДжон Валлисанглийский математик и криптограф · 1616–1703Ввёл знак ∞, вычислил π бесконечным произведением и дал Ньютону приём, из которого тот сделал бином и ряды.; ЭйлерЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя. по ошибке приписал уравнение Джону Пеллю, и название закрепилось. Полное обоснование метода — ЛагранжЖозеф Луи Лагранжфранцузский математик и механик итальянского происхождения · 1736–1813Написал механику без единого чертежа, довёл до конца всё, что начали Эйлер и Ферма, и первым понял, что решаемость уравнения зависит от перестановок его корней., 1768.

Так что «уравнение Пелля» названо в честь человека, который к нему отношения не имел, и решено в Индии за пятьсот лет до постановки в Европе.

Прочее

• Формула Брахмагупты для площади вписанного в окружность четырёхугольника со сторонами $a,b,c,d$ и полупериметром $p$:
  $$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$$
  При $d=0$ она вырождается в формулу Герона для треугольника — красивое обобщение.
• Интерполяционная формула второго порядка для тригонометрических таблиц (за тысячу лет до НьютонаИсаак Ньютонанглийский математик, физик и астроном · 1643–1727Создатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику. и Стирлинга).
• Правила для сумм рядов $\sum k^2$, $\sum k^3$.

Путь на Запад

Индийская арифметика попала в исламский мир в VIII веке: около 771 года ко двору халифа аль-Мансура прибыло посольство с астрономическим трактатом (по-видимому, «Брахма-спхута-сиддхантой»), переведённым на арабский под названием «Синдхинд». Аль-Хорезми напишет отдельную книгу об индийском счёте — и через её латинский перевод («Algoritmi de numero Indorum») позиционная система с нулём попадёт в Европу.

Следующая точка: Багдад — та самая книга, что дала алгебре имя.