Академия Мамуна: Бируни и Ибн Сина

Место и время

Гургандж (нынешний Кёнеургенч в Туркмении) — столица Хорезма, богатого торгового государства на Амударье. При хорезмшахах из династии Мамунидов, прежде всего при Абу-л-Аббасе Мамуне II (правил 1009–1017), здесь сложился учёный круг, который позднейшая традиция назвала Академией Мамуна.

Состав этого круга поразителен даже по меркам исламского золотого века:

• Абу Райхан аль-Бируни (973–1048) — астроном, математик, географ, историк, «первый антрополог»;
• Ибн Сина (Авиценна, ок. 980–1037) — врач и философ, бежавший в Хорезм после падения Саманидов;
• Абу Наср Мансур ибн Ирак (ок. 960–1036) — принц хорезмийского дома, математик и учитель Бируни;
• Абу Сахл ал-Масихи — врач, наставник Ибн Сины;
• Абу-л-Хайр ал-Хаммар — врач и переводчик с греческого.

Кончилось всё в 1017 году: Махмуд Газневи присоединил Хорезм, и учёных увезли в Газни — Бируни фактически в почётном плену. Ибн Сина ушёл на запад раньше, через пустыню, потеряв по дороге ал-Масихи.

Спор о физике АристотеляАристотельгреческий философ · 384–322 до н. э.Не был математиком, но задал математике две вещи, которыми она пользуется до сих пор: определение науки как вывода из недоказуемых начал и открытие, что правильность рассуждения зависит только от его формы.

Самый известный документ этого круга — переписка Бируни с Ибн Синой, известная как «ал-Ас'ила ва-л-аджвиба» («Вопросы и ответы»). Бируни задаёт восемнадцать вопросов, десять из них — по трактату Аристотеля «О небе».

Возражения Бируни звучат поразительно современно. Почему небесные тела обязаны двигаться по кругу — где доказательство, а не рассуждение о совершенстве круга? Почему невозможна пустота? Почему нельзя допустить, что миров много? Отвечал Ибн Сина (частью — через ученика ал-Ма'суми), защищая аристотелевскую картину; Бируни ответы не принял и написал возражения на возражения.

Хронологическая тонкость, которую стоит держать в уме: сама переписка, судя по всему, шла около 997–998 годов, когда Бируни был ещё в Хорезме, а Ибн Сина — в Бухаре, то есть до их встречи в Гургандже. Точка на карте отмечает не переписку, а круг, в котором оба потом оказались.

Что здесь сделали в математике

Теорема синусов для сферического треугольника. До X века вся сферическая астрономия держалась на теореме Менелая о «полном четырёхстороннике» — соотношении шести дуг, где вычисление требовало вспомогательных построений и было мучительно громоздким. Около 980–990 годов сразу трое — Абу Наср ибн Ирак, Абу-л-Вафа ал-Бузджани и Абу Махмуд ал-Худжанди — независимо получают несравнимо более простое соотношение:

$$\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C},$$

где $a,b,c$ — стороны сферического треугольника (то есть дуги, измеряемые углами), а $A,B,C$ — противолежащие им углы. О споре за приоритет между этими тремя мы знаем именно от Бируни: он описал его в «Ключах науки астрономии», отдавая первенство своему учителю ибн Ираку.

Рядом стоит вторая основная формула — сферическая теорема косинусов:

$$\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A .$$

При малых сторонах, разложив косинусы и синусы в ряд, получаем плоскую теорему косинусов; на этом наблюдении позже будет строиться понимание сферы как геометрии с постоянной положительной кривизной — одной из двух неевклидовых геометрий. Греки владели этими формулами как астрономией; осознать, что перед ними альтернативная геометрия, никому не приходило в голову ещё восемь веков.

Задача о кибле. Нужно определить направление на Мекку из произвольной точки Земли. Это ровно задача сферической тригонометрии: даны широты и долготы двух точек, найти азимут. В современной записи

$$\tg q=\frac{\sin(\lambda_M-\lambda_P)}{\cos\varphi_P\tg\varphi_M-\sin\varphi_P\cos(\lambda_M-\lambda_P)} .$$

Практическая задача, ежедневно нужная миллионам людей, оказалась мощным двигателем чистой теории — редкий и полезный для школьного разговора пример.

Радиус Земли с вершины горы. Метод, ставший визитной карточкой Бируни, он применил уже позже, в Индии, у крепости Нандана (около 1017–1030 годов), но идея созрела в хорезмийские годы. С вершины горы известной высоты $h$ измеряется угол $\theta$ понижения видимого горизонта. Луч зрения касается земного шара, значит

$$\cos\theta=\frac{R}{R+h}\quad\Longrightarrow\quad R=\frac{h\cos\theta}{1-\cos\theta}.$$

Бируни получил около 6340 км — истинное значение $6371$ км, ошибка меньше полупроцента. Метод требует одной горы и одного угломера вместо экспедиции через полстраны, которой пользовался ЭратосфенЭратосфен Киренскийгреческий математик, географ и филолог · около 276–194 до н. э.Заведующий Александрийской библиотекой придумал способ выписывать простые числа, которым пользуются до сих пор без изменений, — и измерил окружность Земли по разнице длины теней, ошибившись на считанные…. Слабое место — рефракция: атмосфера приподнимает горизонт, и без поправки радиус получается заниженным; Бируни об этом эффекте догадывался.

Почему эта точка стоит на линии геометрии

Прямого вклада в теорию параллельных здесь нет. Но есть три вещи, без которых дальнейшая линия не собирается.

Во-первых, сферическая геометрия как рабочий инструмент: то, что позже назовут геометрией постоянной положительной кривизны, здесь ежедневно считают в градусах и минутах.

Во-вторых, традиция комментировать ЕвклидаЕвклидгреческий математик · около 300 года до н. э.Автор книги, которая две тысячи лет была вторым по тиражу текстом после Библии, — и о котором самом не известно почти ничего., идущая от того же круга: осада пятого постулата, которую поведут Хайям и ат-Туси, — прямое продолжение работы, начатой Сабитом ибн Куррой и Ибн ал-Хайсамом и подхваченной в Хорезме.

В-третьих, вычислительная культура: таблицы синусов с шагом в четверть градуса, интерполяция, приближённое решение кубических уравнений (Бируни свёл к кубике построение правильного девятиугольника и решил её численно). Именно она через Самарканд и ал-Каши дойдёт до Европы.

Задача. Оцените, с какой точностью нужно измерить угол понижения горизонта $\theta$ с горы высотой $h=1000$ м, чтобы получить радиус Земли с ошибкой не больше 1 %. (Указание: при малых $\theta$ имеем $1-\cos\theta\approx\theta^{2}/2$, откуда $R\approx 2h/\theta^{2}$ и $\dfrac{\Delta R}{R}\approx 2\dfrac{\Delta\theta}{\theta}$; сам угол при таких $h$ около $1^\circ$.)

Следующая точка: Исфахан — где поэт и астроном подойдёт к неевклидовой геометрии ближе всех до XIX века и отступит по философским соображениям.