Ислам · «Канон Масуда», кн. V
Радиус Земли с вершины горы
Как звучало тогда
Я нашёл гору, отвесно спускающуюся к морю, и измерил её высоту. Затем я измерил угол, на который линия зрения к краю моря опускается ниже горизонтали.
Условие
С вершины горы высотой $h$ видимый край моря опускается ниже горизонтали на угол $\theta$. Показать, что радиус Земли равен $R=\dfrac{h\cos\theta}{1-\cos\theta}$, и вычислить $R$ при $h=305$ м и $\theta=34^\prime$.
Показать ответ
$R\approx6236$ км при этих данных; истинный экваториальный радиус 6378 км
О чём эта задача
Вывод в одну строку: луч зрения касается Земли, значит треугольник с вершиной в центре прямоуголен, и $\cos\theta=\dfrac{R}{R+h}$. Приём Бируни лучше эратосфенова тем, что не требует двух городов и согласованных измерений в разных местах, — довольно одной горы и одного угла. Хуже он тем, что до жути чувствителен к точности: ошибка в одну угловую минуту меняет ответ на треть. Число, которое обычно приписывают самому Бируни, около 6340 км, но оно зависит от того, каким локтем считать его 652 локтя, — та же беда, что со стадием Эратосфена.
Разбор — «как решали тогда» и «как решают сейчас» — для этой задачи ещё не написан.