Ал-Каши: шестнадцать знаков числа π

Место

Самарканд 1420-х годов — столица державы Тимуридов и, по совместительству, лучший в мире астрономический центр. Правит внук Тимура Улугбек (1394–1449) — редкий случай государя, который сам считает: современники свидетельствуют, что сложные вычисления он проделывал в уме.

Улугбек строит медресе, а рядом, на холме Кухак, обсерваторию с гигантским квадрантом радиусом около сорока метров, вкопанным в скальный грунт. Инструмент такого размера нужен для одного — точности: чем длиннее дуга, тем мельче деление шкалы в угловых единицах.

Первым руководителем обсерватории становится приглашённый из Ирана Гияс ад-Дин Джамшид ибн Масуд ал-Каши (ок. 1380, Кашан — 1429, Самарканд), к тому времени уже автор «Хаканского зиджа» (1413).

Сохранились его письма к отцу — редкий документ, где о научном учреждении XV века говорится изнутри: кто из коллег чего стоит, как устроены обсуждения, насколько силён сам государь. Ал-Каши отзывается об Улугбеке с уважением, о некоторых астрономах — язвительно.

Техническое задание

Ал-Каши начинает не с математики, а с требования к точности — и это, пожалуй, главное, что отличает его от предшественников.

Требуется вычислить длину окружности, диаметр которой равен шестистам тысячам диаметров Земли, с ошибкой, меньшей толщины конского волоса.

«Конский волос» — не фигура речи, а персидская единица длины (примерно $1/36$ дюйма). То есть задано $\varepsilon$, и уже из него выводится, сколько знаков $\pi$ нужно и сколько шагов вычисления это потребует.

Это ровно та логика, которой живёт вычислительная математика: сначала требуемая точность, потом оценка числа операций, потом алгоритм. Ни у АрхимедаАрхимедгреческий математик, механик и инженер · около 287–212 до н. э.Считал площади и объёмы за девятнадцать веков до интегрального исчисления и оставил письмо, в котором честно рассказал, как он на самом деле догадывался до ответов., ни у китайских, ни у индийских счётчиков такой постановки нет — там считают «насколько хватит терпения».

Как он это сделал

Метод — архимедов: вписанные и описанные правильные многоугольники, число сторон удваивается на каждом шаге. Для вписанного многоугольника со стороной $a_n$ (радиус равен единице)

$$a_{2n} = \sqrt{2 - \sqrt{4 - a_n^{2}}}.$$

Каждое удвоение — два извлечения квадратного корня, вручную, с сохранением всех знаков.

Ал-Каши начинает с шестиугольника и удваивает двадцать восемь раз:

$$3\cdot 2^{28} = 805\,306\,368 \ \text{сторон.}$$

Вычисления ведутся в шестидесятеричной системе с девятью шестидесятеричными знаками — это примерно шестнадцать десятичных. Результат:

$$2\pi = 6;16,59,28,1,34,51,46,14,50_{(60)} = 6{,}2831853071795865\ldots$$

Истинное значение — $6{,}2831853071795864769\ldots$ Шестнадцать десятичных знаков верны.

Вписанный многоугольник даёт оценку снизу, описанный — сверху, так что истинное значение зажато между двумя вычисленными: это не просто ответ, а ответ с доказанной погрешностью. В конце ал-Каши переводит результат в десятичную запись — демонстрируя свободное владение обеими системами счисления.

Стоит представить объём работы: двадцать восемь удвоений, каждое — извлечение корней из шестнадцатизначных чисел столбиком. Это месяцы.

Рекорд и то, как долго он держался

Кто	Когда	Верных знаков $\pi$	Как
Архимед	III в. до н. э.	2	96-угольник
Лю Хуэй	263	5	3072-угольник
Цзу Чунчжи	ок. 480	7	дробь $355/113$
МадхаваМадхава из Сангамаграмыиндийский математик и астроном · около 1340 — около 1425Получил ряды для арктангенса, синуса и косинуса за триста лет до Тейлора и Лейбница, посчитал π с одиннадцатью верными знаками — и всё это в Керале, откуда результаты в Европу не дошли.	ок. 1400	11	ряд с ускорением сходимости
Ал-Каши	1424	16	$805\,306\,368$-угольник
ВиетФрансуа Виетфранцузский юрист, королевский советник и математик · 1540–1603Первым стал обозначать буквами не только неизвестное, но и известные величины, — и с этого алгебра перестала быть собранием рецептов.	1593	9	$6\cdot2^{16}$-угольник
Ван Ромен	1593	≈15	$2^{30}$-угольник
Лудольф ван Цейлен	1596	20	$60\cdot2^{33}$-угольник

Сто шестьдесят девять лет до того, как Европа вышла на тот же порядок точности, — и вышла тем же способом, многоугольниками. Ван Цейлен потратил на свои тридцать пять знаков (1610) значительную часть жизни; их выбили на его надгробии в Лейдене.

«Ключ арифметики» и синус одного градуса

Через три года ал-Каши пишет «Мифтах аль-хисаб» — «Ключ арифметики» (1427), учебник, посвящённый Улугбеку. Там систематически изложены десятичные дроби (в исламской математике они встречались и раньше, у ал-Уклидиси в X веке, но именно здесь становятся рабочим инструментом), извлечение корней любой степени по схеме, эквивалентной схеме Руффини — Горнера, и таблица биномиальных коэффициентов.

Но самое интересное — вычисление $\sin 1°$.

Синус трёх градусов строится циркулем и линейкой (через $60°$ и $72°$). Тройная формула

$$\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^{3}\theta$$

при $x=\sin 1°$ даёт кубическое уравнение $3x - 4x^{3} = \sin 3°$, которое ал-Каши переписывает в виде

$$x = \frac{\sin 3° + 4x^{3}}{3}$$

и решает итерациями: подставляет приближение, получает следующее, повторяет.

Почему это работает, мы теперь можем сказать точно. Производная правой части равна $4x^{2}$, а $x=\sin 1°\approx 0{,}01745$, значит

$$\left|\frac{d}{dx}\frac{\sin 3° + 4x^{3}}{3}\right| = 4x^{2}\approx 0{,}0012.$$

Ошибка на каждом шаге уменьшается примерно в восемьсот раз — то есть чуть больше чем на один шестидесятеричный знак за итерацию. Ал-Каши довёл $\sin 1°$ до десяти шестидесятеричных знаков.

Это метод простой итерации со сходимостью, которую он проверял практикой, — за двести с лишним лет до НьютонаИсаак Ньютонанглийский математик, физик и астроном · 1643–1727Создатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику. и за четыреста до того, как появилось слово «сходимость».

Обсерватория

Итог работы Самарканда — «Зидж-и Гурагани» (1437), составленный уже после смерти ал-Каши: каталог 1018 звёзд и таблицы синусов через одну угловую минуту. Точность не превзойдена до Тихо Браге, то есть полтора века.

Длину звёздного года там дают как 365 дней 6 часов 10 минут 8 секунд — ошибка меньше минуты.

Чего здесь не было

Назовём и это, иначе получится не история, а реклама.

• Нет ряда. Ал-Каши не суммирует бесконечное. Он выполняет конечный алгоритм с гарантированной оценкой погрешности. Бесконечность в его рассуждении не участвует вовсе.
• Нет предела как понятия. Есть вопрос «сколько шагов хватит» — и это не одно и то же.
• Нет производной, нет функции, нет исчисления. Итерация для $\sin 1°$ — приём для конкретного уравнения, а не метод.
• Зато есть то, чего не было у греков: управление точностью. Заданное $\varepsilon$ и выведенное из него число шагов.

Две дороги к одному числу

Мадхава и ал-Каши разделены четвертью века и ничего друг о друге не знали. Они шли к одному и тому же числу двумя разными дорогами.

Керала: бесконечный ряд, ускорение сходимости, поправочные члены. Одиннадцать знаков.
Самарканд: конечный многоугольник, удвоение, контроль погрешности. Шестнадцать знаков.

По очкам побеждает Самарканд. По будущему — Керала, и с разгромным счётом.

Удвоение многоугольника — тупиковая ветвь: чтобы получить лишний десятичный знак, нужно примерно три-четыре новых удвоения, каждое дороже предыдущего. Ряд же можно ускорять, преобразовывать, дифференцировать и интегрировать — из него вырастает весь анализ.

Насколько разгромный счёт, видно через двести сорок лет. В чумной 1665 год Ньютон выводит ряд для арксинуса, берёт полтора десятка членов и получает пятнадцать знаков $\pi$ — сидя дома от нечего делать. Ему потом было неловко:

Мне стыдно сказать, до скольких знаков я довёл эти вычисления, не имея в то время других занятий.

Восемьсот миллионов сторон против нескольких дней скуки. Это и есть разница между блестящим вычислением и исчислением.

Судьба

Ал-Каши умер 22 июня 1429 года у стен обсерватории; версия об убийстве по приказу Улугбека появляется в поздних источниках и не подтверждается. Улугбека убили в 1449-м по приказу собственного сына, обсерваторию разрушили, место забыли на четыре с половиной века — подземную часть квадранта нашёл археолог В. Л. Вяткин в 1908 году.

Следующая точка: Линц, 1615 — Европа возвращается к бесконечно малым, но теперь не ради точности, а ради скорости.