Стевин: конец обыкновенной дроби

Человек, который начал поздно

Симон Стевин (1548–1620) родился в Брюгге незаконным сыном зажиточных горожан и первые тридцать лет жизни занимался чем угодно, только не наукой: служил приказчиком в антверпенской торговой конторе, потом счетоводом, потом чиновником податного ведомства в Брюгге. Двойную бухгалтерию он знал не по книгам, а по службе — и это важнее для дальнейшего, чем кажется.

В 1581 году он перебирается на север, в восставшие против Испании провинции, а в 1583-м поступает в Лейденский университет — в тридцать пять лет. Там он сходится с ровесником-студентом по имени Мориц Оранский, будущим штатгальтером и лучшим военным инженером своего поколения. Дружба определит вторую половину жизни Стевина: он станет квартирмейстером нидерландской армии, будет строить шлюзы, ветряные мельницы и системы затопления полей перед испанской осадой, а для развлечения двора соорудит парусную повозку, которая по пляжу от Схевенингена до Петтена везла двадцать восемь человек быстрее скачущей лошади.

Всё, что он написал, он написал по-нидерландски и принципиально. Латынь он знал, но считал, что наука должна говорить на языке тех, кто ею пользуется, — и потому ему пришлось выдумать терминологию с нуля. Wiskunde — «искусство достоверного», нидерландское слово для математики. Meetkunde — геометрия, «искусство измерения». Driehoek — треугольник, evenwicht — равновесие, middellijn — диаметр. Голландский школьник и сегодня учит математику словами Стевина.

Книжка в сорок страниц

«De Thiende» — «Десятина», Лейден, 1585. Сорок страниц, покончивших с обыкновенной дробью в счётеSimon Stevin · Public domain

«De Thiende» («Десятина»), Лейден, типография Кристофеля Плантена, 1585. Меньше сорока страниц. В том же году — французский вариант «La Disme».

Она обращена не к математикам. Титульный лист перечисляет адресатов: «звездочётам, землемерам, ковровым мастерам, винным мерильщикам, монетчикам и всем купцам» — то есть тем, кто считает по службе. Обещание в предисловии тоже вполне купеческое: научиться считать так, чтобы обходиться вообще без дробей.

Смысл обещания стоит расшифровать, потому что звучит оно странно.

Что в ней нового — и чего в ней нет

Начнём с честного: десятичные дроби Стевин не изобрёл. Ими полноценно владел ал-Каши в Самарканде — «Ключ арифметики» 1427 года излагает их систематически и с уверенным обращением. До него — аль-Уклидиси в Дамаске (X век), после — Иммануил Бонфис в Провансе (XIV век). В самой Европе десятичные доли то и дело появлялись в тригонометрических таблицах, потому что иначе таблицы не сходились.

Новизна Стевина в другом, и она не математическая, а программная:

Он первым заявил, что десятичной дробью следует считать всё и всегда, и написал инструкцию, по которой этому можно научить кого угодно.

До «De Thiende» десятичная запись — приём отдельных вычислителей для отдельных задач. После — предложение сменить арифметику целиком: выбросить и шестидесятеричные доли астрономов, и обыкновенные дроби купцов.

Аргумент у Стевина не «так красивее», а «так дешевле». Сложить $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{11}$ — значит найти общий знаменатель, то есть выполнить отдельную умственную операцию, своей формы для каждой пары дробей. Сложить $0{,}4286$ и $0{,}4545$ — значит сделать ровно то же, что при сложении целых чисел, столбиком, не думая. Позиционный алгоритм продолжается вправо за разделитель — и дроби перестают быть отдельным разделом арифметики.

Это второй большой перенос мышления на нотацию в этой линии. Первый — сами индийские цифры, избавившие от счётной доски. Здесь — от общего знаменателя.

Как он это записывал

Запятой у Стевина нет. Разряды он помечает кружками с номерами, которые ставит после каждой цифры:

$$3\;⓪\;1\;①\;4\;②\;1\;③\;5\;④ \qquad\text{означает}\qquad 3{,}1415.$$

Кружок с нулём отмечает целые, с единицей — десятые, с двойкой — сотые. Запись громоздка, и в этом виде она не прижилась: приписывать номер к каждой цифре — лишний труд, ровно тот, от которого книга обещала избавить.

Разделитель в нынешнем виде появится у следующих. Клавий в 1593 году поставит точку в таблице синусов; десятичную запятую введёт в общее употребление Непер — в «Rabdologia» 1617 года и в английском издании своих логарифмических таблиц. Разделение живо до сих пор: запятая в континентальной Европе и России, точка — в англоязычном мире.

Приложение, опередившее на два века

К «De Thiende» приложены несколько страниц, которые обычно упоминают вскользь, а стоило бы наоборот. Стевин предлагает перевести на десятичный счёт меры, вес и монету: чтобы в мере длины было десять меньших мер, в них — снова десять, и так далее.

Метрическая система будет введена во Франции в 1795 году. Стевин предложил её принцип за двести десять лет до этого — и по той же причине, по которой предлагал десятичную дробь: чтобы пересчёт перестал требовать размышления.

У этого предложения есть неожиданный след. Английский перевод книжки, сделанный Робертом Нортоном в 1608 году, назывался «Disme: The Art of Tenths». Его читал Томас Джефферсон — и в докладе о монетной системе 1785 года предложил назвать десятую часть доллара disme. Написание со временем упростилось, и американская монета в десять центов до сих пор зовётся dime.

Ещё Стевин

В том же 1585 году выходит его «L'arithmétique», и там сделана вещь, без которой десятичная дробь повисла бы в воздухе. Стевин отказывается от греческой иерархии числа:

единица — такое же число, как прочие (а не «начало чисел», как у Евклида);
иррациональные величины — числа, а не «невыразимые отношения»;
отрицательные — полноправные корни уравнений, за что он спорит с современниками; за тринадцать лет до него Бомбелли примирился с невозможными числами в Болонье, и это одно движение;
нуль — начало отсчёта числовой прямой, как точка на линейке.

Логика прямая: если все числа однородны, то и записывать их надо однообразно. Десятичная дробь — вывод из этого убеждения, а не техническая уловка.

Физика у него не менее хороша:

Гидростатический парадокс (1586): давление жидкости на дно зависит от высоты столба, а не от формы сосуда и не от количества воды.
Опыт с падением тел (1586, Дельфт, вместе с Яном Корнетсом де Гроотом): два свинцовых шара, один в десять раз тяжелее другого, сброшены с высоты около десяти метров на доску — стук слышен один. Опубликовано за три года до первых записей Галилея на ту же тему; в отличие от Пизанской башни, которая легенда, этот опыт документирован самим экспериментатором.
Закон наклонной плоскости (1586), доказанный рассуждением такой красоты, что его печатают в учебниках до сих пор. На треугольную призму наброшена замкнутая цепь одинаковых шаров. Если бы цепь пришла в движение сама, движение продолжалось бы вечно — а вечного двигателя не бывает; значит цепь в равновесии, и, отбросив симметричную нижнюю петлю, получаем, что силы на гранях относятся как длины граней. Титульный лист несёт эту цепь эмблемой с девизом «Wonder en is gheen wonder» — «Чудо — не чудо».

Последнее рассуждение — по существу первое применение принципа виртуальных перемещений, и оно же объясняет склад ума автора: невозможность даровой работы для Стевина — довод не хуже геометрического.

Почему это точка линии

Дробь была узким местом счёта. Пока она обыкновенная, каждое действие с ней требует отдельного решения — какой знаменатель, как сократить, — то есть работы, которую нельзя поручить процедуре. Десятичная запись растягивает позиционный алгоритм за разделитель, и дробные вычисления становятся такими же механическими, как целые.

Но стоит устранить одно узкое место, как становится виден следующий. Числа теперь записаны единообразно и складываются легко. Умножение по-прежнему дорого — и никакая нотация его не удешевит, потому что дорога сама операция. Значит, надо не улучшать умножение, а заменить его другим действием.

Ровно этим двадцать лет своей жизни занят человек в шотландском замке.

Следующая точка: Мерчистон — где умножение впервые заменили сложением.