Непер: умножение становится сложением

Лэрд, считавший главным делом жизни совсем другое

Джон Непер (1550–1617), восьмой лэрд Мерчистона, — шотландский помещик, живший в башне под Эдинбургом, которая и сейчас стоит внутри университетского кампуса, носящего его имя. В тринадцать лет он поступил в Сент-Эндрюс, курса не кончил, доучивался где-то на континенте и вернулся управлять имением.

Спросите его, чем он занят, — он ответит про Апокалипсис. Его «A Plaine Discovery of the Whole Revelation of St. John» (1593) — построчный разбор Откровения, доказывающий, что римский папа есть антихрист, с вычислением сроков конца света (между 1688 и 1700 годами). Книга выдержала десятки изданий и была переведена на французский, немецкий и голландский; современники знали Непера прежде всего как её автора, и сам он считал её своим главным трудом. Математика была занятием на полях богословия.

На тех же полях помещались изобретения. Он удобрял поля солью и брал на это патент, строил гидравлический винт для откачки воды из шахт, а в письме 1596 года лорду Энтони Бэкону перечислил военные машины на случай испанского вторжения: зажигательное зеркало для сжигания кораблей, орудие, косящее поле «на четыре фута выше земли», и судно, способное идти под водой.

Соседи считали его чернокнижником, и он этому не мешал. Самая известная история — про чёрного петуха: чтобы найти вора среди слуг, Непер объявил, что петух закричит под рукой виновного, и велел каждому погладить птицу в тёмной комнате. Петух был обмазан сажей. Вор вышел с чистыми руками.

Что было до

Мысль, что умножение можно свести к сложению, к 1614 году была не нова.

Ещё АрхимедАрхимедгреческий математик, механик и инженер · около 287–212 до н. э.Считал площади и объёмы за девятнадцать веков до интегрального исчисления и оставил письмо, в котором честно рассказал, как он на самом деле догадывался до ответов. в «Псаммите» заметил: если выписать геометрическую прогрессию, то произведению её членов отвечает сумма их номеров. В 1544 году Михаэль Штифель в «Arithmetica integra» выписал это в виде таблицы — строка степеней двойки и строка показателей — и прямо сказал, что умножение в верхней строке есть сложение в нижней. Дальше он остановился: таблица содержит только целые степени, а между ними пустота. Для вычислений с реальными числами она бесполезна.

Был и работающий приём — простаферезис, которым с 1580-х пользовались астрономы Тихо Браге. Он опирался на тождество

$$\cos A\,\cos B=\tfrac12\bigl[\cos(A-B)+\cos(A+B)\bigr],$$

то есть сводил умножение к сложению через тригонометрические таблицы: найди углы по косинусам, сложи и вычти, возьми косинусы, полусумму — готово. Работало, но требовало четырёх обращений к таблице и годилось только для чисел, приведённых к синусам. Непер о простаферезисе знал — вероятно, через Джона Крейга, побывавшего у Браге, — и, по-видимому, именно он подтолкнул к мысли, что должен существовать способ проще.

Двадцать лет

«Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio» («Описание удивительного канона логарифмов»), Эдинбург, 1614.

Тонкая книга объяснений и девяносто страниц таблицы: логарифмы синусов для каждой минуты дуги от нуля до девяноста градусов, с семью знаками. Считал он их около двадцати лет.

Стоит на секунду остановиться на этой цифре. Двадцать лет ежедневного счёта — не ради результата, который можно назвать теоремой, и не ради собственного удобства. Ради того, чтобы всякий следующий вычислитель тратил на умножение минуту вместо получаса. Во всей этой линии нет более чистого примера того, чем она занята.

Как он это придумал

Непер обошёл пустоту в таблице Штифеля, сделав соответствие непрерывным, — и рассуждал при этом не алгебраически, а кинематически. Функций в нашем смысле у него нет; есть две движущиеся точки.

Первая идёт по отрезку длиной $10^{7}$ к его концу со скоростью, в каждый момент равной оставшемуся расстоянию: чем ближе к цели, тем медленнее, и дойти не может никогда. Вторая идёт по бесконечной прямой равномерно, со скоростью $10^{7}$. Обе стартуют одновременно.

Логарифмом числа $x$ Непер называет путь, пройденный второй точкой к тому моменту, когда первой осталось пройти ровно $x$.

Замедляющееся движение первой точки — это в точности то, что мы записали бы как $\dot x=-x$, и потому неперов логарифм связан с натуральным:

$$\mathrm{Nap.log}\,x \;\approx\; 10^{7}\ln\frac{10^{7}}{x}.$$

Три вещи в этом определении устроены не так, как у нас, и их полезно проговорить.

Основания нет вовсе. Понятия «логарифм по основанию» в 1614 году не существует; оно появится позже, когда логарифм станет функцией. У Непера это построение, а не формула.

Логарифм убывает. $\mathrm{Nap.log}\,10^{7}=0$, и чем больше число, тем меньше его логарифм. Логарифма единицы, равного нулю, здесь нет.

Число $10^{7}$ взято из практики, а не из теории: таблицы синусов того времени давали семь знаков, а синус понимался как длина полухорды в круге радиуса $10^{7}$ — чтобы обходиться целыми числами. Непер строил таблицу для астрономов и подгонял её под их привычки.

Число $e$ во всём этом уже присутствует — в множителе $(1-10^{-7})^{n}$, на котором построен расчёт, — но ни имени, ни знака у него ещё нет. Логарифм станет функцией с основанием и обретёт $e$ только у Эйлера, сто тридцать лет спустя.

Слово

Сначала он называл их numeri artificiales — «искусственные числа». Потом составил термин из двух греческих: λόγος (отношение) и ἀριθμός (число) — logarithmus, «число отношения». Название точное: логарифм измеряет не величину, а отношение величин, и потому равные отношения дают равные разности логарифмов.

Русское «логарифм» — то же слово, прошедшее через латынь, и в нём до сих пор спрятано греческое «отношение», о котором никто не помнит.

Что это дало

Правила, ради которых всё затевалось, укладываются в четыре строки:

$$\log(ab)=\log a+\log b,\qquad \log\frac ab=\log a-\log b,$$
$$\log a^{n}=n\log a,\qquad \log\sqrt[n]{a}=\frac1n\log a.$$

Умножение стало сложением, деление — вычитанием, возведение в степень — умножением, извлечение корня — делением. Каждая операция подешевела ровно на порядок сложности.

Первым это оценил тот, кому было нужнее всех. КеплерИоганн Кеплернемецкий астроном и математик · 1571–1630Вывел законы движения планет из чужих наблюдений, посчитал объём винной бочки способом, из которого через полвека вырастет интеграл, и защищал мать на процессе о колдовстве. — считавший объёмы винных бочек в Линце годом позже — получив «Descriptio», сперва отнёсся к ней с подозрением: таблица без доказательства выглядела как фокус. Разобравшись, он пересчитал на логарифмах «Рудольфовы таблицы» (1627) — труд, который иначе занял бы остаток его жизни, — и посвятил Неперу собственную книжку логарифмов 1624 года. Посвящение опоздало на семь лет: Непер к тому времени умер.

Итог этой истории двумя веками позже подвёл ЛапласПьер-Симон Лапласфранцузский математик, астроном и физик · 1749–1827Свёл небесную механику в пять томов, а теорию вероятностей — в один, и на полтора столетия задал образ мира, в котором будущее вычисляется из настоящего., сказав, что логарифмы, сократив труд, удвоили жизнь астронома.

Что успело случиться при его жизни

Книгу 1614 года прочитал Генри БриггсГенри Бриггсанглийский математик · 1561–1630Уговорил Непера сделать основанием логарифма десятку — и сам посчитал таблицу, пятьдесят четыре раза подряд извлекая корень из десяти с тридцатью знаками. Вручную., профессор геометрии в лондонском Грешем-колледже, и написал приятелю, что не видел книги, которая нравилась бы ему больше и удивляла сильнее. Летом 1615 года он поехал в Эдинбург знакомиться. По рассказу Уильяма Лилли, встреча началась с того, что двое молча смотрели друг на друга почти четверть часа, прежде чем кто-то заговорил.

Заговорили о неудобстве: убывающий логарифм и нуль в неудобном месте мешают. Не лучше ли сделать так, чтобы логарифм единицы был нулём, а логарифм десяти — круглым числом? Кто первым это предложил, Бриггс и Непер потом описывали по-разному, и это следующая точка линии.

В год смерти вышла «Rabdologia» (1617) — книга о вычислительных приспособлениях, и в ней три разные вещи. Во-первых, «палочки Непера»: набор стержней с записанной таблицей умножения, на которых многозначное умножение выкладывается руками почти без счёта в уме. Во-вторых, десятичная запятая — именно отсюда она входит в общее употребление, через тридцать два года после того, как Стевин обошёлся кружками. В-третьих, глава о «местной арифметике»: счёт фишками на разграфлённой доске в двоичной системе, с переносами и всеми четырьмя действиями, — первое в Европе изложение двоичной арифметики, за восемьдесят лет до ЛейбницаГотфрид Вильгельм Лейбницнемецкий философ, математик и дипломат · 1646–1716Придумал знаки $d$ и $\int$, которыми мы пишем анализ до сих пор, — и всю жизнь искал язык, на котором спор можно было бы заканчивать словами «посчитаем». и за три с лишним века до того, как это стало важно.

Как построена таблица, Непер объяснил в «Constructio», которую издал посмертно, в 1619 году, его сын Роберт.

Почему это точка линии

Все прочие точки карты отмечают, что мы узнали. Эта отмечает, сколько мы перестали платить.

Логарифм не открыл нового объекта — отношение арифметической и геометрической прогрессий было известно от Архимеда до Штифеля. Он снял цену с операции, которую все и так умели выполнять. Двадцать лет одного человека в обмен на несколько минут каждого астронома, землемера и штурмана следующих трёх с половиной столетий — до тех пор, пока в 1970-х логарифмическую линейку не вытеснит карманный калькулятор.

И у этой сделки есть продолжение, которое видно уже в «Rabdologia». Если счёт можно удешевить таблицей, его можно удешевить и предметом — палочками, шкалой, шестерёнкой. Дальше линия идёт именно туда.

Следующая точка: Лондон — где логарифм привели в тот вид, в котором его учат в школе.